已知函数f（x）=2x+alnx（a∈R）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个零点，求实数a的
已知函数f（x）=2x+alnx（a∈R）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）的最小值为h（a），m，...
已知函数f（x）=2x+alnx（a∈R）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）的最小值为h（a），m，n为h（a）定义域A中的任意两个值，求证：h(m)+h(n)2＜h(m+n2)．
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（1）解：求导函数，可得f′(x)＝2+
(x＞0)
令f′（x）=0得x＝?
当a≥0时，f′（x）≥0，∴函数f（x）=2x+alnx在区间（0，+∞）上单调递增；
当a＜0时，若0＜x＜?
，则f′（x）＜0；若x＞?
，则f′（x）＞0
∴函数f（x）=2x+alnx在区间(0，?
)上单调递减，在区间(?
，+∞)上单调递增．
综上所述，当a≥0时，函数f（x）的单调增区间为（0，+∞）；
当a＜0时，函数f（x）的单调减区间为(0，?
)，单调增区间为(?
，+∞)．…（4分）
（2）解：由（1）知，当a≥0时，函数f（x）至多有一个零点，不符合题意，∴a＜0
又由（1）知，若a＜0，则函数f（x）在x＝?
处取得极小值f(?
)＝?a+aln(?
)
∴函数f（x）有两个零点
∴
，解得a＜-2e
∴a的取值范围是（-∞，-2e）（8分）
（3）证明：由（1）（2）知，当a≥0时，函数f（x）无最小值；
当a＜0时，h(a)＝f(x)min＝f(?
)＝?a+aln(?
)
对于?m，n∈（-∞，0）且m≠n，有
?h(
)＝
?[?
+
ln(?
)]=
ln(?
| a |
| x |
令f′（x）=0得x＝?
| a |
| 2 |
当a≥0时，f′（x）≥0，∴函数f（x）=2x+alnx在区间（0，+∞）上单调递增；
当a＜0时，若0＜x＜?
| a |
| 2 |
| a |
| 2 |
∴函数f（x）=2x+alnx在区间(0，?
| a |
| 2 |
| a |
| 2 |
综上所述，当a≥0时，函数f（x）的单调增区间为（0，+∞）；
当a＜0时，函数f（x）的单调减区间为(0，?
| a |
| 2 |
| a |
| 2 |
（2）解：由（1）知，当a≥0时，函数f（x）至多有一个零点，不符合题意，∴a＜0
又由（1）知，若a＜0，则函数f（x）在x＝?
| a |
| 2 |
| a |
| 2 |
| a |
| 2 |
∴函数f（x）有两个零点
∴
|
∴a的取值范围是（-∞，-2e）（8分）
（3）证明：由（1）（2）知，当a≥0时，函数f（x）无最小值；
当a＜0时，h(a)＝f(x)min＝f(?
| a |
| 2 |
| a |
| 2 |
对于?m，n∈（-∞，0）且m≠n，有
| h(m)+h(n) |
| 2 |
| m+n |
| 2 |
?m+mln(?
| ||||
| 2 |
| m+n |
| 2 |
| m+n |
| 2 |
| m+n |
| 4 |
| m |
| 2 |
