Question

（2014?鄂州二模）已知抛物线l1：y=ax2-2ax+b与x轴交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C，且A（-1，0），OB=

（2014?鄂州二模）已知抛物线l1：y=ax2-2ax+b与x轴交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C，且A（-1，0），OB=OC （1）求抛物线l1的解析式；（2）将（1）中抛物线绕点P（3，?32）旋转180゜得到抛物线l2，已知抛物线l2交x轴于G、H两点（G在H的左侧），Q是y轴正半轴上一点，若∠QHG=∠QCA，求点Q的坐标；（3）经过（2）中Q点的直线与（1）中抛物线l1交于M、N两点（M在N的左侧），交抛物线l1的对称轴于点F，是否存在这样的直线MN，使得MF=2FN？若存在，求直线MN的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由抛物线l₁：y=ax²-2ax+b可知：C（0，b）
∵OB=OC，
∴B（-b，0），
∵抛物线l₁：y=ax²-2ax+b与x轴交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C，
∴

a+2a+b＝0 ab2+2ab+b＝0

解得：

a＝1 b＝?3

 或

a＝? 1 3 b＝1

（舍去）
∴抛物线l₁的解析式为y=x²-2x-3；
（2）∵抛物线y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
将抛物线y=x²-2x-3绕点P（3，?

3

2

）旋转180゜得到抛物线l₂，
则抛物线l₂为：y=-（x-5）²+1，
令y=0，∴0=-（x-5）²+1，
解得：x=4或x=6，
∴H（6，0），
∵∠QHG=∠QCA，
∴△ACO∽△HQO，
∴GO：OH=OA：OC=1：3，
∴GO=2，
∴G（0，2）；

（3）存在；
理由：如图，∵抛物线y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴对称轴x=1，
∵Q（0，2），直线MN过Q点，
∴设直线MN的解析式为y=kx+2，
解

y＝kx+2 y＝x2?2x?3

，得：x₁=

k+2+ (k+2)2+20

2

，x₂=

k+2? (k+2)2+20

2

；
根据题意，则（

k+2+ (k+2)2+20

2

-1）：（1-

k+2? (k+2)2+20

2

）=FN：FM=1：2，
整理，得：8k²-4k-24=0，
解得：k=-

3

2

，k=2（舍去），
∴直线MN的解析式y=-

3

2

x+2．