Question

如图，正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，DE=CF，AF与BE相交于O，DG⊥AF，垂足为G．（1）求证：AF

如图，正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，DE=CF，AF与BE相交于O，DG⊥AF，垂足为G．（1）求证：AF⊥BE；（2）试探究线段AO、BO、GO的长度之间的数量关系；（3）若GO：CF=4：5，试确定E点的位置．

Answer 1

（1）见解析   （2）BO=AG=AO+OG   （3）AE= AD

试题分析：（1）证明：∵ABCD为正方形，且DE=CF， ∴AE=DF，AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°， ∴△ABE≌△DAF， ∴∠ABE=∠DAF，又∵∠ABE+∠AEB=90°， ∴∠DAF+∠AEB=90°， ∴∠AOE=90°，即AF⊥BE； （2）解：BO=AO+OG． 理由：由（1）的结论可知， ∠ABE=∠DAF，∠AOB=∠DGA=90°，AB=AD， 则△ABO≌△DAG， 所以，BO=AG=AO+OG； （3）解：过E点作EH⊥DG，垂足为H， 由矩形的性质，得EH=OG， ∵DE=CF，GO：CF=4：5，∴EH：ED=4：5， ∵AF⊥BE，AF⊥DG，∴OE∥DG， ∴∠AEB=∠EDH，△ABE∽△HED， ∴AB：BE=EH：ED=4：5， 在Rt△ABE中，AE：AB=3：4， 故AE：AD=3：4， 即AE= AD． 点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质．关键是利用正方形的性质证明全等三角形，相似三角形，利用线段，角的关系解题．