Question

高二 数学 椭圆 请详细解答,谢谢! (9 12:22:51)

已知椭圆x2/16+y2/4=1和点M（1,1），求以点M为中点的弦MN所在的直线方程。

Answer 1

直线与椭圆相交P,Q
p(x1,y1),Q(X2,Y2),
因为M(1,1)为中点
所以X1+X2=2*1=2,Y1+Y2=2*1=2
x2/16+y2/4=1,x^2+4y^2=16
x1^2+4y1^2=16,x2^2+4y2^2=16
(x1^2-x2^2)+4(y1^2-y2^2)=0
(y1-y2)/(x1-x2)=-(x1+x2)/[4(y1+y2)]=-1/4
所以PQ斜率K=(y1-y2)/(x1-x2）=-1/4
过M（1，1）
直线方程：x+4y-5=0

Answer 2

设M（x1，y1）
N（x2，y2）

故有：x1+x2=2
y1+y2=2

同时有：x1^2+4y1^2=16
x2^2+4y2^2=16
两式相减：（x1-x2）（x1+x2）+4（y1-y2）（y1+y2）=0

即2（x1+x2）+8（y1-y2）=0

（y1-y2）/（x1-x2）=-1/4

即斜率为-1/4

方程为：y=-1/4（x-1）+1=-1/4x+5/4

Answer 3

若弦⊥x轴，根据椭圆对称性知中点必在x轴上，不合题意
所以设y=k(x-1)+1=kx+1-k
与椭圆方程联立整理得
(1+4k²)x²+8(k-k²)x+4(1-k)²-16=0
设两个交点为(x1,y1)(x2,y2)
则x1+x2=-8(k-k²)/(1+4k²)=2
4k²-4k=4k²+1
k=-1/4
∴解析式为y=-x/4+1-(-1/4)=-x/4+5/4