Question

（本题满分12分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC. （1）若AC=BC，∠B︰∠C=2︰1，试写出图中的所有等

（本题满分12分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC. （1）若AC=BC，∠B︰∠C=2︰1，试写出图中的所有等腰三角形，并给予证明．（2）若AB BD＝AC，求∠B︰∠C 的比值

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Answer 1

（1）证明略 （2）2:1

（1）（△ABC证明1分，△ABD和△ADC的证明各3分，本小题共7分） 等腰三角形有3个：△ABC，△ABD，△ADC （只写出没有任何证明，1个给1分） 证明：∵AC=BC ∴△ABC是等腰三角形--------------1分 ∴∠B=∠BAC--------------2分 ∵∠B︰∠C=2︰1 ∠B+∠BAC+∠C=180° ∴∠B=∠BAC=72°，∠C=36°--------------4分 ∵∠BAD=∠DAC= ∠BAC=36° ∴∠B=∠ADB=72°, ∠DAC=∠C=36°--------------6分 ∴△ABD和△ADC是等腰三角形--------------7分 （2）方法1：在AC上截取AE=AB,连接DE-------------1分 又∠BAD=∠DAE，AD＝AD ∴△ABD≌△ADE-------------2分 ∴∠AED=∠B ， BD＝DE ∵AB＋BD＝AC ∴BD＝EC ∴DE＝EC -------------4分 ∴∠EDC=∠C ∴∠B=∠AED=∠EDC+∠C=2∠C 即∠B︰∠C=2︰1--------------5分 方法2：延长AB到E，使AE=AC连接DE 证明△ADE≌△ADC 再类似证明得到∠B=2∠AED=2∠C 利用“截长法”或“补短法”添加辅助线，将 AC－AB或AB＋BD转化成一条线段

Answer 2

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