Question

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AA1⊥平面A1B1C1，AB=AC=AA1．（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1BC1；（

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AA1⊥平面A1B1C1，AB=AC=AA1．（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1BC1；（Ⅱ）若点D为B1C1的中点，求AD与平面A1BC1所成角的大小．

Answer 1

解答：（Ⅰ）证明：∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，∴AA₁⊥A₁C₁．
又 A₁C₁⊥A₁B₁，AA₁∩A₁B₁=A₁
∴A₁C₁⊥平面AA₁B₁B．
∴A₁C₁⊥AB₁
又四边形AA₁B₁B是正方形，AB₁⊥A₁B，A₁B∩A₁C₁=A₁
∴AB₁⊥平面A₁BC₁．
（Ⅱ）设AB₁∩BA₁=O，连结AC₁，
∵AB=AC=AA₁=a，A₁C₁⊥A₁B₁，AA₁⊥平面A₁B₁C₁，
∴△AB₁C₁是正三角形，
∵AD，C₁O是△AB₁C₁的中线，
∴AD，C₁O的交点G为△AB₁C₁的重心，
∴∠AGO是AD与平面A₁BC₁所成角，
在Rt△AOG中，AG=

2

3

AD=

6

3

AB，AO=

2

2

AB，
∴sin∠AGO=

3

2

，∴∠AGO=60°，即AD与平面A₁BC₁所成角为60°．