在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且（2a-c）cosB=bcosC．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若点D
在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且（2a-c）cosB=bcosC．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若点D为BC边的中点，∠CAD=π6，CD=1，求c的...
在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且（2a-c）cosB=bcosC．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若点D为BC边的中点，∠CAD=π6，CD=1，求c的值．
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（Ⅰ）方法一：
∵
＝
＝
，
∴
＝
，
＝
．
∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴(2
?
)cosB＝cosC．
∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC．
∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA．
∵A∈（0，π），∴sinA≠0．∴cosB＝
．
∵B∈（0，π），∴B＝
．
方法二：
∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴(2a?c)
＝b
，
化简得 a2+c2-b2=ca，
∴cosB＝
＝
，
∵B∈（0，π），∴B＝
，
（Ⅱ）在△ACD，△ABD中，
＝
，
＝
．
由（Ⅰ）知：B＝
．
∵点D为BC边的中点，∠CAD＝
，∴∠ABC=π-?
?
?C=
?C，
∴
＝
，
＝
，
化简得sin2C＝
，
∵C∈(0，
)，∴2C∈（0，π），
∴2C=
或
，即C＝
或C＝
，
当C＝
时，△ABC为等边三角形，由CD=1可得：AB=2CD=2；
当C＝
时，∠BAD＝
?
＝
，所以△ABD为等边三角形，由CD=1可得：AB=BD=CD=1．
综上得，c=2或c=1．
∵
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
| c |
| sinC |
∴
| a |
| b |
| sinA |
| sinB |
| c |
| b |
| sinC |
| sinB |
∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴(2
| sinA |
| sinB |
| sinC |
| sinB |
∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC．
∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA．
∵A∈（0，π），∴sinA≠0．∴cosB＝
| 1 |
| 2 |
∵B∈（0，π），∴B＝
| π |
| 3 |
方法二：
∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴(2a?c)
| a2+c2?b2 |
| 2ac |
| a2+b2?c2 |
| 2ab |
化简得 a2+c2-b2=ca，
∴cosB＝
| a2+c2?b2 |
| 2ac |
| 1 |
| 2 |
∵B∈（0，π），∴B＝
| π |
| 3 |
（Ⅱ）在△ACD，△ABD中，
| CD |
| sin∠CAD |
| AD |
| sinC |
| BD |
| sin∠BAD |
| AD |
| sinB |
由（Ⅰ）知：B＝
| π |
| 3 |
∵点D为BC边的中点，∠CAD＝
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
∴
| 1 | ||
sin
|
| AD |
| sinC |
| 1 | ||
sin(
|
| AD | ||
sin
|
化简得sin2C＝
| ||
| 2 |
∵C∈(0，
| π |
| 2 |
∴2C=
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
当C＝
| π |
| 3 |
当C＝
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
综上得，c=2或c=1．
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