Question

在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=

在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC．设∠BAC=α，∠BCE=β．（1）如图1，如果∠BAC=90°，∠BCE=______度；（2）如图2，你认为α、β之间有怎样的数量关系？并说明理由．（3）当点D在线段BC的延长线上移动时，α、β之间又有怎样的数量关系？请在备用图上画出图形，并直接写出你的结论．

Answer 1

∵∠DAE=∠BAC，∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠EAC+∠DAC；
∴∠CAE=∠BAD；
在△ABD和△ACE中，

AB＝AC ∠BAD＝∠CAE AD＝AE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
∴∠B=∠ACE；
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠B=180°-∠BAC=90°；
（2）由（1）中可知β=180°-α，
∴α、β存在的数量关系为α+β=180°；
（3）连接AD，作AE使得∠DAE=∠BAC，AE=AD，连接DE、CE，可得下图：

∵∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE；
在△ABD和△ACE中，

AB＝AC ∠BAD＝∠CAE AD＝AE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
∴∠B=∠ACE；
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠B=180°-∠BAC．
∴α、β存在的数量关系为α+β=180°；