Question

在平面xoy上求一点，使它到x=0,y=0及x+2y-16=0三条直线的距离平方之和为最小 求详细

在平面xoy上求一点，使它到x=0,y=0及x+2y-16=0三条直线的距离平方之和为最小
求详细过程，越详细越好，在线等

Answer 1

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Answer 3

解：设这个点的坐标为（x,y）（x≥0,y≥0）
点（x,y）到直线x+2y-16=0的距离d=|x+2y-16|/√1²+2²
点（x,y）到直线x=0的距离=y，点（x,y）到直线y=0的距离=x
所求值f(x,y)= y²+x²+d²=y²+x²+(x+2y-16)²/(1²+2²)=y²+x²+(x+2y-16)²/5=y²+x²+(x+2y)²/5-32(x+2y)/5+16²/5
求偏导
f'(x,y)|x=2x+2(x+2y)/5-32/5=0
f'(x,y)|y=2y+2*2(x+2y)/5-64/5=0
化简整理得
3x+y-8=0
2x+9y-32=0
解得 y=80/25=16/5 x=8/5
(f'(x,y)|x,f'(x,y)|y)·(x-8/5,y-16/5)=[(12x+4y-32)/5,(4x+18y-64)/5]·(x-8/5,y-16/5)=
判断是极小值点