Question

在xoy平面上求一点，使它到x=0，y=0及x+2y-16=0三平面的距离的平方和为最小

Answer 1

解题过程如下：

设该点的坐标是P(m,n)

则P到x=0的距离是|n|

到y=0的距离是|m|到直线x+2y-10=0的距离是|m+2n-10|

根号(1²+2²)三者的平方和为：n²+m²+(m+2n-10)²/5

构造二元函数f(m,n)=n²+m²+(m+2n-10)²/5

则求f(m,n)的极值

令两个偏导数值为0对m的偏导数f'm(m,n)=2m+(2/5)(m+2n-10)=0

对n的偏导数f'n(m,n)=2n+(4/5)(m+2n-10)=0

得m=0,n=5

即所求点的坐标是(0,5)

该点到三直线的距离平方和是25 

扩展资料

公式：

将一个有n 个变量与k 个约束条件的最优化问题转换为一个有n + k个变量的方程组的极值问题，其变量不受任何约束。

这种方法引入了一种新的标量未知数，即拉格朗日乘数：约束方程的梯度（gradient）的线性组合里每个向量的系数。此方法的证明牵涉到偏微分，全微分或链法，从而找到能让设出的隐函数的微分为零的未知数的值。

如果这个实际问题的最大或最小值存在，一般说来驻点只有一个，于是最值可求。

条件极值问题也可以化为无条件极值求解，但有些条件关系比较复杂，代换和运算很繁，而相对来说“拉格朗日乘数法”不需代换，运算简单一点，这就是优势。

条件φ(x,y,z)一定是个等式，不妨设为φ(x,y,z)=m

则再建一个函数g(x,y,z)=φ(x,y,z)-m

g(x,y,z)=0以g(x,y,z)代替φ(x,y,z)

在许多极值问题中，函数的自变量往往要受到一些条件的限制，比如，要设计一个容积为 V的长方体形开口水箱，确定长、宽和高，使水箱的表面积最小.。设水箱的长、宽、高分别为 x,y,z， 则水箱容积V=xyz。

Answer 2