Question

如图，抛物线y=1/2x2+x-4与y轴交于点C（0，-4），与x轴交于点A,B，且点B的坐标为（2,0）

（2）若点P为AB上的一动点，过点P做PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值。
（3）若点D为OA的中点，点M为线段AC上一点，且△OMD是等腰三角形，求M点的坐标。

Answer 1

(2)
y = (1/2)(x + 4)(x - 2)
A(-4, 0), B(2, 0), C(0, -4)
P(p, 0), -4 < p < 2
AC的斜率为(-4 - 0)/(0 + 4) = -1, PE的斜率也是-1
PE的方程: y = -(x - p) = p - x
BC的方程: x/2 + y/(-4) = 1
二者联立得E((p+4)/3, (2p - 4)/3), 这里纵坐标<0
三角形PCE的面积 = 三角形PBC的面积 - 三角形PBE的面积
= (1/2)*PB*CO - (1/2)*PB*|E的纵坐标|
= (1/2)*PB(CO - |E的纵坐标|)
= (1/2)(2 - p)(4 + (2p - 4)/3)
= (1/3)(2 - p)(p + 4)
p = (-4 + 2)/2 = -1时，面积最大，为3

(3)
D(-2, 0)
AC: x/(-4) + y/(-4) = 1, y = -x - 4
令M(m, -m - 4), -4 < m < 0
(a) O为顶点
OD = OM
(-2)² = m² + (-m - 4)²
m² + 4m + 6 = 0， 无解
(b)D为顶点
DO = DM
(-2)² = (m + 2)² + (-m - 4)²
m² + 6m + 8 = (m + 2)(m + 4) = 0，m = -2, M(-2, -2), 舍去m = -4

(c) M为顶点
MO = MD
m² + (-m - 4)² = (m + 2)² + (-m - 4)²
m = -1, M(-1, -3)