大一线性代数。 10

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2015-10-31 · TA获得超过435个赞
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大一线性代数的知识点128

2011年线性代数必考的知识点;1、行列式;1.n行列式共有n2个元素,展开后有n!项,可分;①、Aij和aij的大小无关;;②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余;i?j;Mij;4.设n行列式D:;n(n?1);将D上、下翻转或左右翻转,所得行列式为D2;1,则D1?(?1)D;n(n?1);将D顺时针或逆时针旋转90?;,所得行列式为D2,则

2011年线性代数必考的知识点

1、行列式

1. n行列式共有n2个元素,展开后有n!项,可分解为行列2n式; 2. 代数余子式的性质:

①、Aij和aij的大小无关;

②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0; ③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A; 3.
代数余子式和余子式的关系:Mij?(?1)i?jAijAij?(?1)

i?j

Mij

4. 设n行列式D:

n(n?1)

将D上、下翻转或左右翻转,所得行列式为D2

1,则D1?(?1)D



n(n?1)

将D顺时针或逆时针旋转90?

,所得行列式为D2,则D2?(?1)

2

D



将D主对角线翻转后(转置),所得行列式为D3,则D3?D; 将D主副角线翻转后,所得行列式为D4,则D4?D; 5. 行列式的重要公式:

①、主对角行列式:主对角元素的乘积;

n(n?1)

②、副对角行列式:副对角元素的乘积??(?1)

2



③、上、下三角行列式(?◥???◣?):主对角元素的乘积;

n(n?1)

④、?◤?和?◢?:副对角元素的乘积??(?1)2

; ⑤、拉普拉斯展开式:

AOCC

B?AO

B

?AB、

CAOAB

O?B

C?(?1)

m?n

AB

⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值;

n

6. 对于n阶行列式

A

,恒有:?E?A??n

?

?(?1)

k

S?k

k?

n,其中Sk为k阶主子式;k?1

7. 证明A?0的方法:

①、A??A; ②、反证法;

③、构造齐次方程组Ax

?0

,证明其有非零解;

④、利用秩,证明r(A)?n; ⑤、证明0是其特征值;

2、矩阵

1.

A

是n阶可逆矩阵:

?A?0(是非奇异矩阵);

?r(A)?n(是满秩矩阵)

?A的行(列)向量组线性无关;

?

齐次方程组Ax

?0

有非零解;

??b?Rn

,Ax

?b

总有唯一解;

?A与E等价;

?A可表示成若干个初等矩阵的乘积; ?A

的特征值全不为0; ?ATA

是正定矩阵;

?A?A

的行(列)向量组是Rn的一组基; 是Rn中某两组基的过渡矩阵;

*

?1T

2. 对于n阶矩阵A:AA*?A*A?AE 无条件恒成立; 3.

(A)?(A)(AB)

T

T

?1*

(A)

?1T

*

?(A)

*

*

T?1

(A)

*T

?(A)

?1

T*

?1

?BA(AB)?BA(AB)?B

?1

A

4. 矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和; 5. 关于分块矩阵的重要结论,其中均A、B可逆:



?A1?A??

???

A2

?

?????As?

,则:

Ⅰ、A?A1A2?As;

?A1?1???????O??B?A??O?C??B?O??B?

?1

Ⅱ、A

?1

A2

?1

?

??????1

As??



?A

②、?

?O?O③、?

?B?A④、?

?O?A⑤、?

?C

?A?1???O?O???1

?A?A?1???O

O?

;(主对角分块) ?1?B?B

?

?;(副对角分块) O?

?1

?1

?1

?1

?1

?ACB

B

?1

?

?;(拉普拉斯) ?

?1

?1

?A???1?1

??BCAO??1?B?

;(拉普拉斯)

3、矩阵的初等变换与线性方程组

1. 一个m?n矩阵A,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:F??

?Er?O

O?

; ?

O?m?n

等价类:所有与A等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵; 对于同型矩阵A、B,若r(A)?r(B)?????A?B; 2.
行最简形矩阵:

①、只能通过初等行变换获得;

②、每行首个非0元素必须为1;

③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;

3. 初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)

①、 若(A?,?E)???(E?,?X),则A可逆,且X

r

?A

?1



c

②、对矩阵(A,B)做初等行变化,当A变为E时,B就变成A?1B,即:(A,B)???(E,A?1B);

r

③、求解线形方程组:对于n个未知数n个方程Ax

?b

,如果(A,b)?(E,x),则A可逆,且x

?Ab

?1



4. 初等矩阵和对角矩阵的概念:

①、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;

??1?

②、???

???

?2

?

??

?,左乘矩阵A???n?

,?i乘A的各行元素;右乘,?i乘A的各列元素;

③、对调两行或两列,符号E(i,j),且E(i,

j)

?1

??

?E(i,j),例如:?1

??

1

1

???1??

?1

?

??1???

?1

1

???1??

1k



④、倍乘某行或某列,符号E(i(k)),且E(i(k))?1

?1

?,例如:?E(i())

?k

??

k

???1??

?1

????????

?(k?0)?1??



⑤、倍加某行或某列,符号E(ij(k)),且E(ij(k))?1

?1?

?E(ij(?k)),如:1

k???1

?1

??1

?k?

?

(k?0);

?

????

1???

??

1??

5. 矩阵秩的基本性质:

①、0?r(Am?n)?min(m,n);

②、r(AT)?

r(A);

③、若A?B,则r(A)?r(B);

④、若P、Q可逆,则r(A)?r(PA)?r(AQ)?r(PAQ);(可逆矩阵不影响矩阵的秩)
⑤、max(r(A),r(B))?r(A,B)?r(A)?r(B);(※) ⑥、r(A?B)?r(A)?r(B);(※)
⑦、r(AB)?min(r(A),r(B));(※)

⑧、如果A是m?n矩阵,B是n?s矩阵,且AB?0

,则:(※)

Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AX?0

解(转置运算后的结论);

Ⅱ、r(A)?r(B)?n

⑨、若A、B均为n阶方阵,则r(AB)?r(A)?r(B)?n;

6. 三种特殊矩阵的方幂:

①、秩为1的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)?行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;

?1ac?②、型如?

?0

1b???的矩阵:利用二项展开式;

?

00

1??

n

二项展开式:(a?b)

n

?C0

an

?C1n?1

1

n

n

a

b???Cma

n?m

?11mm?m

n

b

m

???C

nn

ab

n?1

?Cnbn

n

?

?C

n

ab

n;

m?0

注:Ⅰ、(a?b)n展开后有n?1项;

Ⅱ、Cm

?

n(n?1)??(n?m?1)

0n

n1?2?3???m

?

n!m!(n?m)!Cn?Cn?1

n

Ⅲ、组合的性质:C

mn

?C

n?mC

mmm?1r?2

n

rCr

r?1

n

n?1

?Cn

?Cn

?C

n

n?nCn?1



r?0

③、利用特征值和相似对角化: 7. 伴随矩阵:

?nr(A)?n?????①、伴随矩阵的秩:r(A*)??

?1

r(A)?n?1;

??

0r(A)?n?1

②、伴随矩阵的特征值:A

*

?1

*

A

?

(AX??X,A?AA???AX?

?

X);

③、A*?AA?1、A*?A

n?1

8. 关于A矩阵秩的描述:

①、r(A)?n,A中有n阶子式不为0,n?1阶子式全部为0;(两句话)

②、r(A)?n,A中有n阶子式全部为0;

③、r(A)?n,A中有n阶子式不为0;

9. 线性方程组:Ax?b,其中A为m?n矩阵,则:

①、m与方程的个数相同,即方程组Ax?b有m个方程;

②、n与方程组得未知数个数相同,方程组Ax

?b

为n元方程;

10. 线性方程组Ax?b的求解:

①、对增广矩阵B进行初等行变换(只能使用初等行变换);

②、齐次解为对应齐次方程组的解; ③、特解:自由变量赋初值后求得;

11. 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程:

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1????

a21x1?a22x2???a2nxn?b2???

①、?

?

?????????????ax?ax???ax?b

m22nmnn?m11

?a11

?

②、?a21

????am1

a12a22?am2

????

a1n??

??a2n

???????amn??



x1??b1????x2b

???2??Ax?b????????xm??bm?

(向量方程,A为m?n矩阵,m个方程,n个未知数)

③、?a

1

a2

?

??an??

???x1??x2

??????xn??b1?

(全部按列分块,其中???b2

????bn??????

);

④、a1x1?a2x2???anxn??(线性表出)

⑤、有解的充要条件:r(A)?r(A,?)?n(n为未知数的个数或维数)

4、向量组的线性相关性

1.

m

个n维列向量所组成的向量组A:?1,?2,?,?m构成n?m矩阵A?(?1,?2,?,?m);

???????

??1T?T?2

TTT

m个n维行向量所组成的向量组B:?1,?2,?,?m构成m?n矩阵B??

???T???m



含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;

2. ①、向量组的线性相关、无关 ?Ax?0有、无非零解;(齐次线性方程组)

?Ax?b是否有解;(线性方程组) ②、向量的线性表出

?AX?B是否有解;(矩阵方程) ③、向量组的相互线性表示

3. 矩阵Am?n与Bl?n行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组Ax?0和Bx?0同解;(P101例14) 4. 5.

r(AA)?r(A)

T

;(P101例15)

???0??,?

n维向量线性相关的几何意义:

①、?线性相关 ②、?,?线性相关



坐标成比例或共线(平行);

③、?,?,?线性相关 ??,?,?共面;

6. 线性相关与无关的两套定理:

若?1,?2,?,?s线性相关,则?1,?2,?,?s,?s?1必线性相关;

若?1,?2,?,?s线性无关,则?1,?2,?,?s?1必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶)
若r维向量组A的每个向量上添上n?r个分量,构成n维向量组B:

若A线性无关,则B也线性无关;反之若B线性相关,则A也线性相关;(向量组的维数加加减减) 简言之:无关组延长后仍无关,反之,不确定;

7. 向量组A(个数为r)能由向量组B(个数为s)线性表示,且A线性无关,则r

向量组A能由向量组B线性表示,则r(A)?r(B);

?s



向量组A能由向量组B线性表示

?AX?B有解; ?r(A)?r(A,B)

向量组A能由向量组B等价??r(A)?r(B)?r(A,B) ①、矩阵行等价:A~B

cr

8. 方阵A可逆?存在有限个初等矩阵P1,P2,?,Pl,使A?P1P2?Pl;

?PA?B

(左乘,P可逆)?Ax?0与Bx?0同解

②、矩阵列等价:A~B?AQ?B(右乘,Q可逆); ③、矩阵等价:A~B?PAQ?B(P、Q可逆); 9. 对于矩阵Am?n与Bl?n:

①、若A与B行等价,则A与B的行秩相等;

②、若A与B行等价,则Ax?0与Bx?0同解,且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性; ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;
④、矩阵A的行秩等于列秩; 10. 若Am?sBs?n?Cm?n,则:

①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示,B为系数矩阵;

②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示,AT为系数矩阵;(转置)

11. 齐次方程组Bx?0的解一定是ABx?0的解,考试中可以直接作为定理使用,而无需证明;

①、ABx?0 只有零解???Bx?0只有零解;

②、Bx?0 有非零解???ABx?0一定存在非零解;

12. 设向量组Bn?r:b1,b2,?,br可由向量组An?s:a1,a2,?,as线性表示为:

(b1,b2,?,br)?(a1,a2,?,as)K(B?AK)

其中K为s?r,且A线性无关,则B组线性无关?r(K)?r;(B与K的列向量组具有相同线性相关性)
(必要性:?r?r(B)?r(AK)?r(K),r(K)?r,?r(K)?r;充分性:反证法)

注:当r?s时,K为方阵,可当作定理使用;

13. ①、对矩阵Am?n,存在Qn?m,AQ?Em ?r(A)?m、Q的列向量线性无关;

②、对矩阵Am?n,存在Pn?m,PA?En ?r(A)?n、P的行向量线性无关; 14. ?1,?2,?,?s线性相关

?存在一组不全为0的数k1,k2,?,ks,使得k1?1?k2?2???ks?s?0成立;(定义)

??

?(?,?,?,?)?

12s

???

x1??x2

??0有非零解,即Ax?0???xs?

有非零解;

?r(?1,?2,?,?s)?s,系数矩阵的秩小于未知数的个数;

15. 设m?n的矩阵A的秩为r,则n元齐次线性方程组Ax16. 若?*为Ax

?b

?0

的解集S的秩为:r(S)?n?r;

的一个解,?1,?2,?,?n?r为Ax

?0

的一个基础解系,则?*,?1,?2,?,?n?r线性无关;

5、相似矩阵和二次型

1. 正交矩阵?

AA?E

T

或A?1

?A

T

(定义),性质:

?1???0

i?ji?j

(i,j?1,2,?n)

①、A的列向量都是单位向量,且两两正交,即aiTaj②、若A为正交矩阵,则A?1

?A

T



也为正交阵,且A??1;

③、若A、B正交阵,则AB也是正交阵; 注意:求解正交阵,千万不要忘记施密特正交化和单位化; 2. 施密特正交化:(a1,a2,?,ar)

b1?a1;

b2?a2?

[b1,a2][b1,b1]

?b1

???

br?ar?

[b1,ar

]b[2ar,]b?r[ar,]1

?b1??b2????b?r; 1

[b1,b1]b[2b,2]br?[br1?,1]

3. 对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关;

对于实对称阵,不同特征值对应的特征向量正交; 4. ①、A与B等价 ?A经过初等变换得到B;

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bill8341
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2015-03-30 · 关注我不会让你失望
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第二行展开:

D = 2* 【1 0】+ 1 * 【-3 0】 + (-1) * 【-3 1】
0 1 1 1 1 0

第三列展开:

D = (-1) * 【-3 1】+ 1 * 【-3 1】
1 0 2 1
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JJoanna
2016-05-15
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第二行展开
(-1)^(2+1)*2*|1 0|+(-1)^(2+2)*1*|-30|

|0 1| |1 1|
+(-1)^(2+3)*(-1)*|-3 1|=-6
|1 0|
第三行展开
(-1)^(3+1)*1*|1 0|+(-1)^(3+3)*1
|1 -1|
*|-3 1|=-6
| 2 1|
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夏天的流星~欣
2015-03-29
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我知
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