Question

y=2sin3x,x∈[-π/6,π/6]求出反函数

Answer 1

y=2sin3x,x∈[-π/6,π/6]的反函数是y=arcsin(x/2) /3 ，x∈[-2,2]。

解题过程：

y=2sin3x

sin3x=y/2

3x=arcsin(y/2)

x=arcsin(y/2) /3

当x=－π/6时 y=2sin(－3π/6)=-2sinπ/2=-2

当x=π/6时 y=2sin(π3/6)=2sinπ/2=2

所以，反函数是y=arcsin(x/2) /3 ，x∈[-2,2]。

反函数的特性：

一般来说，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f-1(y) 。反函数x=f-1(y)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。

一般地，如果x与y关于某种对应关系f(x)相对应，y=f(x)，则y=f(x)的反函数为x=f-1(y)。存在反函数（默认为单值函数）的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。注意：上标"−1"指的是函数幂，但不是指数幂。

Answer 2

　　一、解析：
　　y=2sin3x
　　sin3x=y/2
　　3x=arcsin(y/2)
　　x=arcsin(y/2) /3
　　当x=－π/6时 y=2sin(－3π/6)=-2sinπ/2=-2
　　当x=π/6时 y=2sin(π3/6)=2sinπ/2=2
　　∴反函数是
　　　　y=arcsin(x/2) /3 x∈[-2,2]
　　二、相关知识：
　　一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^(-1)(x) 。反函数y=f ^(-1) (x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。
　　一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x），则y=f（x）的反函数为x=f -1(y)。存在反函数(默认为单值函数）的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。注意：上标"−1"指的并不是幂。

Answer 3

-π/6≤x≤π/6 -π/2≤3x≤π/2 所以-2≤y≤2 sin3x=y/2 3x=arcsin(y/2) x=arcsin(y/2)/3 所以反函数y=[arcsin(x/2)]/3,其中-2≤x≤2