Question

△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5． 求：∠APB的度数．

Answer 1

解：将三角形ABP顺时针旋转60度，得到三角形BEC，连接PE
所以角PBE=60度
三角形ABP和三角形BEC全等
所以PB=EB
角APB=角BPC
PA=CE
所以三角形PBE是等边三角形
所以PB=PE
角PEB=60度
因为PA=3 PB=4
所以PE=4 CE=3
因为PC=5
3^2+4^2=5^2
所以PC^2=PE^2+CE^2
所以三角形PEC是直角三角形
所以角PEC=90度
因为角BPC=角PEB+角PEC=90+60=150度
所以角APB=150度

Answer 2

∠APB=150°
∵△ABC是正三角形
∴∠BAC=60°，AB=AC
将△APB绕A，旋转到AB和AC重合，得△AP′C≌△APB
连接PP′
那么∠APB=∠AP′C
∠BAP=∠CAP′，P′A=PA=3，P′C=PB=4，
∵∠BAP+∠CAP=∠CAP′+∠CAP=∠BAC=60°
∴∠PAP′=∠CAP′+∠CAP=60°
∴△APP′中：PA=P′A，∠PAP′=60°
那么△APP′是等边三角形，
∴∠AP′P=60°，PP′=PA=3
∴△PP′C中；PC=5，P′C=4，PP′=3
勾股定理：PC²=P′C²+PP′²，
那么△PP′C是RT△
∴∠CP′P=90°
∴∠AP′C=∠AP′P+∠CP′P=60°-90°=150°
∴∠APB=∠AP′C=150°

Answer 3

∠APB的度数等于150。

Answer 4