Question

帮忙证明初三数学题？

证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为一个常量。
有图吗，谢谢。

Answer 1

已知：等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC上任意点D，DE⊥AB，DF⊥AC，BH⊥AC 

求证： DE＋DF＝BH 

证法一：

连接AD

则△ABC的面积＝AB*DE/2＋AC*DF/2＝(DE＋DF)*AC/2 

而△ABC的面积＝BH*AC/2 

所以：DE＋DF＝BH 

即：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高 

证法二：

作DG⊥BH，垂足为G

因为DG⊥BH，DF⊥AC，BH⊥AC

所以四边形DGHF是矩形

所以GH＝DF

因为AB＝AC

所以∠EBD＝∠C

因为GD//AC

所以∠GDB＝∠C

所以∠EBD＝∠GDB

又因为BD＝BD

所以△BDE≌△DBG（ASA）

所以DE＝BG

所以DE＋DF＝BG＋GH＝BH

证法三：

提示：

过B作直线DF的垂线，垂足为M

运用全等三角形同样可证

另外运用三角函数也能进行证明

图如下

Answer 2

等腰三角形ABC,AB=AC,BC上的点D,DE⊥AB,DF⊥AC
连AD,
则，ABC的面积=AB*DE/2+AC*DF/2=(DE+DF)*AB/2
而ABC的面积=腰上的高*AB/2
所以，
DE+DF=腰上的高
即：
等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为常量：腰上的高

Answer 3

底边上任何一点向两腰做垂线，

该垂线和底边的夹角相等（因为等腰三角形两个底角相等）设为a

则到两腰距离之和为 L1*cosa+L2*cosa=(L1+L2)*cosa

L1+L2即为底边长，是常数，而 a=180-b （b为底角）也是常数

因此等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和与该点位置无关，为一个常量

另一种：

Answer 4

如图

等腰三角形ABC，AC=BC，D为AB上任意一点

则有D到AC和BC的距离分别为

AD·sinA于BD·sinB

∵AC=BC

∴∠A=∠B

∴sinA=sinB

∴AD·sinA+BD·sinB=（AD+AB）·sinA=AB·sinA

∵AB和∠A都为常量

∴AB·sinA 也为常量