Question

一道高一数学题~~求解答~~在线等~~

在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得几次测量分别得a1,a2,……，an,共n个数据，我们规定所测量物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小，依此规定，从a1,a2,……，an,推出的a=？

希望有比较详细的推理过程便于我理解. 谢谢！

Answer 1

在测量某物理量的过程中,因仪器和观察误差,使得几次测量分别得到a1,a2,a3,…,an,其n(n∈N)个数据,我们规定所测量物理量的"最佳近似值"a是这样一个量;与其它近似值比较,a与各数据的差的平方和最小,依照规定,求:从a1,a2,…,an推出a.分析:①通过读题抽去非本质内容,抓住数量关系即ai与a的关系;②对陌生名词的领悟:"最近似值"只不过是即时定义的一个新概念而已,临场中许多考生一见这个"名词"感到很陌生,就连想都不敢想;③把题目中的本质含义翻译为数学语言;即"a与各数据的差的平方和最小"译成.求:f(a)=(a-a1)2+(a-a2)2+…+(a-an)2取最小值时的a值即求f(a)=na2-2(a1+a2+…+an)a+(a12+a22+…+an2)的最小值由f(a)=n(a-(a1+a2+……+an)/n)^2+a1^2+a2^2+……+an^2-(a1+a2+……+an)^2/n得a=(a1+a2+……+an)/n时,f(a)最小

Answer 2

a=(a1+a2+....+an)/n
证明如下：
目标y=(a-a1)^2+(a-a2)^2+.....(a-an)^2最小。
方法1：对a求导等于0,那么就得到上述值。
方法2：展开，看作a的二次函数，最小值时a=(a1+a2+....+an)/n