Question

设f(x)=|x-a|g(x),其中a为常数,g(x)为连续函数,讨论f(x)在x=a可导性

Answer 1

按定义，
(f(x)-f(a))/(x-a)=|x-a|g(x)/(x-a)，
lim[x->a+](f(x)-f(a))/(x-a)=lim[x->a+]|x-a|/(x-a)lim[x->a+]g(x)=g(a)，
lim[x->a-](f(x)-f(a))/(x-a)=lim[x->a-]|x-a|/(x-a)lim[x->a+]g(x)=-g(a)。
f(x)在x=a可导当且仅当lim[x->a](f(x)-f(a))/(x-a)存在，
当且仅当lim[x->a+](f(x)-f(a))/(x-a)=lim[x->a-](f(x)-f(a))/(x-a)，
当且仅当g(a)=-g(a)，
当且仅当g(a)=0。