Question

在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c且acosB，ccosC，bcosA成等差数列

在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c且acosB，ccosC，bcosA成等差数列
1.求角C的值
2.求2sin²A+cos（A-B）的范围

Answer 1

1、
acosB，ccosC，bcosA成等差数列

∴ acosB+bcosA=2ccosC
∵acosB+bcosA=c
∴ cosC=1/2
∴ C=π/3

2、
锐角三角形
∴0＜A＜π/2，0＜B=2π/3-A＜π/2
∴π/6＜A＜π/2
2sin²A+cos（A-B）

=2sin²A+cos（A+A-2π/3）

=1-cos2A+(-1/2·cosA+√3/2·sin2A)
=1+√3/2·sin2A-3/2·cosA
=1+√3·sin(2A-π/6)
∵ π/6＜A＜π/2
∴ 2A-π/6∈（π/6，5π/6）
∴ sin(2A-π/6)∈（1/2，1）
∴ 取值范围为
（1+√3/2，1+√3）

Answer 2

1，由题意，acosB，ccosC，bcosA成等差数列，所以

acosB-ccosC=ccosC-bcosA, 即, 2ccosC=acosB+bcosA
由锐角三角形可得，acosB+bcosA=c
所以2ccosC=acosB+bcosA=c ,所以cosC=1/2, 角C=60度

Answer 3

(1)acosB，ccosC，bcosA成等差数列
∴acosB+bcosA=2ccosC
由余弦定理可得：
cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)，cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)
∴acosB+bcosA=a*(a²+c²-b²)/(2ac)+b*(b²+c²-a²)/(2bc)=c
∴2ccosC=c ∴cosC=1/2
又三角形为锐角三角形 ∴C=π/3
(2)∵A+B+C=π
∴A+B=π-C=2π/3
∴A-B=2A-2π/3
∴2sin²A+cos(A-B)=1-cos2A+cos(2A-2π/3)
=1-cos2A+cos2Acos(2π/3)+sin2Asin(2π/3
=1-(3/2)cos2A+(√3/2)sin2A=1+√3[(1/2)sin2A-(√3/2)cos2A]
=√3sin(2A-π/3) +1
∵三角形为锐角三角形
∴0<B=2π/3-A<π/2，0<A<π/2
∴π/6<A<π/2
∴0<2A-π/3<2π/3
∴0<sin(2A-π/3)≤1
∴2sin²A+cos(A-B)的取值范围为(1，1+√3]