Question

已知函数f(x)=loga[1-m(x-2)]/(x-3) (a>0,a≠1），对定义域内任意x都有f(2-x)+f(2+x)=0成立。

（1）求实数m的值;
(2)若当x∈(b,a)时，f(x)的取值范围恰为（1,+∞），求实数a,b的值。
解答详细的我将加到100

Answer 1

（1）解：
f(2-x)=loga[1-m(2-x-2)]/(2-x-3)=loga[1+mx)]/(-1-x)
f(2+x)=loga[1-m(2+x-2)]/(2+x-3)=loga[1-mx)]/(x-1)
f(2-x)+f(2+x)=0
即
loga[1-mx)]/(x-1)+ga[1+mx)]/(-1-x)=0
即longa[(1-m^2x^2)/(1-x^2)]=0
所以[(1-m^2x^2)/(1-x^2)]=1
解得m=±1
将m=±1带入f（x）发现m=1是f（x）不成立
故m=-1为所求

（2）解：
据题1解析知f(x)=loga[x-1]/(x-3)
因为当x∈(b,a)，f(x)的取值范围恰为（1,+∞）
零界分析
即当x=a时，f(x)=+∞
将x=a带入原式得
(a-1)/(a-3)=a^+∞
推出a=3
同理将x=b，a=3带入原式
得到b=4

Answer 2

f(x)=logax-1 x-3
由f（x）的取值范围恰为（1，+∞），
当0＜a＜1时，y=x-1 x-3 x∈（b，a）的值域为（0，a），
函数y=x-1 x-3 在x∈（b，a）上是减函数，所以a-1 a-3 =0，这是不可能的．
当a＞1时，y=x-1 x-3 x∈（b，a）的值域为（a，+∞），
所以，函数y=x-1 x-3 在x∈（b，a）上是减函数，并且b=3
所以，a-1 a-3 =a，解得a=2+ 3
综上：a=2+ 3 ，b=3

Answer 3

解，1,因为f(2-x)+f(2+x)=0，所以f(x)关于点（2,0）成中心对称，函数g（x）=f(x+2)是奇函数。
g（x）=loga[1-m(x-2+2)]/(x-3+2)=loga[（1-mx）/（x-1）]
g(2)+g(-2)=0,所以loga[1-2m]+loga[-1-2m]=loga[(4m^2-1]=0
4m^2-1=1,m^2=1/2