Question

高一三角函数问题 求详解

如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中Y>X>0.(1)将十字形的面积表示为θ的函数（2）θ为何值时十字形的面积最大？最大面积是多少

Answer 1

已知直径为1，故x=cosθ， y=sinθ,则:
(1).十字形的面积S=y²-4[(y-x)/2]²
=sin²θ-(sinθ-cosθ)²
=sin²θ-(1-2sinθcosθ)
=sin²θ-(1-sin2θ)
=(1-cos2θ)/2-1+sin2θ
=sin2θ-1/2cos2θ-1/2
=√[1²+(1/2)²]sin[2θ-aretan(1/2)]-1/2
=√5/2sin[2θ-aretan(1/2)]-1/2.
（2).当θ=[90°-aretan(1/2)]/2时，面积最大；
最大面积Smax=(√5-1)/2 (此值恰为黄金分割率)。

Answer 2

解：（1）设十字形的面积为S，由图可知：
x=cosθ （0＜θ＜90°）
y=sinθ
S=y^2-4((y-x)/2)^2=x^2-2xy=-（cosθ）^2+2cosθsinθ
=-(cosθ）^2+sin2θ
（2）对S求导得
S'=-sin2θ-2cos2θ 当S'=0时取得最大值 即tan2θ=2
θ=1/2artan2
代入S中，最大面积=（3√5-5）/10

Answer 3

s=2xy-x^2

=2*2cosθ*2sinθ-(2cosθ)^2

=4sin2θ-2(cos2θ+1)

=2*5^(1/2)(sin2θsina-cos2θcosa)-2(其中sina=2/5^(1/2),cosa=1/5^(1/2))

=-2*5^(1/2)cos(2θ+a)-2

<=2√5-2

十字形的最大面积为2√5-2