Question

已知a,b,c是正实数,求证: a / 根号[a^+8bc]+ b / 根号[b^2+8ca]+ c/ 根号[c^2+8ab

详细的问题说明，已知a,b,c是正实数，求证： a / 根号[a^+8bc]+ b / 根号[b^2+8ca]+ c/ 根号[c^2+8ab]>= 1

Answer 1

构造局部不等式：

设 a / √[a^+8bc]>=a^n/(a^n+b^n+c^n)

即a^n+b^n+c^n>=a^(n-1)√[a^+8bc]

即a^2n+2a^n(b^n+c^n)+(b^n+c^n)^2
>=a^2n+a^(n-1)*8bc

即2a^n(b^n+c^n)+(b^n+c^n)^2
>=a^(2n-2)*8bc
事实上：2a^n(b^n+c^n)+(b^n+c^n)^2
>=2a^n*2√b^nc^n+4b^nc^n
>=2√【2a^n*2√b^nc^n*4b^nc^n】
=8a^(n/2)*b^(3n/4)*c^(3n/4)
上式应=a^(2n-2)*8bc
比较系数：可得n=4/3时可以满足

故a / √[a^+8bc]>=a^(4/3)/(a^(4/3)+b^(4/3)+c^(4/3))
同样有另外两式：故得证：

以上