Question

已知x,y都为正整数,且x*x+y*y/2=1,求x*x*(1+y*y)开根号后的最大值.

很深奥的问题,请数学高手指点下~~~

Answer 1

已知x,y都为正整数,且x*x+y*y/2=1,求x*x*(1+y*y)开根号后的最大值.

分析：∵ x，y均为正整数，x^2+y^2/2=1，为一椭圆的第一象限部分。

解：
(一个公式，名字不记得了：若a，b∈(0，∞)，有a^2+b^2≥2ab)
∴ √x*x*(1+y*y)=√x^2(1+y^2)≤(x^2+1+y^2)/2=1/2+(x^2+y^2)/2
即求x^2+y^2的最大值。
令f(x)=x^2+y^2，很明显，f（x）是一个圆的第一象限部分。要求f（x）的最大值，就是要求他的半径的最大值。那麼，当该圆内切於x^2+y^2/2=1这个椭圆时，半径才能取得最大值。此时半径为＝1.f（x）＝x^2+y^2=1

∴ √x*x*(1+y*y)≤1/2+(x^2+y^2)/2≤1/2+1/2=1

呵呵，解这个题我不应该罗嗦这麼多的，但是时间太久，我也不记得你们那个时候学了什麼知识点了，所以多写了一点。
其实解这种题，图形结合会是最佳的解题方案。

Answer 2

将y^2=2*(1-x^2)代入所求的式子得√3*x^4-2*x^6
设f(x)=3*x^4-2*x^6,求导得
f'(x)=12*x^3-12*x^5,解得驻点为0或者1、-1,
代入驻点解得f(x)最大值为1，从而所求最大值为1

Answer 3

没想到好办法,代入法:
得√x^2(1+y^2)=√2x^2-x^4
令x^2=X
原式变成√2X-X^2<=√1=1(二次函数求最值)