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高等数学 一道关于定积分的题 求详细解题过程 在线等速度采纳

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Answer 1

求导：φ'(x)=e^x+xφ(x)-∫（0，x）φ(t)dt-xφ(x)==e^x-∫（0，x）φ(t)dt
再求导：φ''(x)=e^x-φ(x)
φ''(x)+φ(x)=e^x
非齐次线性微分方程，特解φ(x)=0.5e^x，φ''(x)=0.5e^x，代入，正确。
对应齐次方程：
φ''(x)+φ(x)=0，φ(x)=Asin（ax+b）；
φ'(x)=Aacos（ax+b）；
φ''(x)=-Aa²sin（ax+b）；
φ''(x)+φ(x)=-Aa²sin（ax+b）+Asin（ax+b）=A（1-a²）sin（ax+b）=0
1=a²，a=±1，
φ(x)=Asin（x+b），或者φ(x)=Asin（-x+b）=-Asin（x-b）,A、b分别换成-A，-b，后面形式与前面相同：
因此通解可以表示为：
φ(x)=Asin（x+b）
原方程的通解是：φ(x)=Asin（x+b）+0.5e^x+C
φ'(x)=Acos(x+b)+0.5e^x
φ''(x)=-Asin(x+b)+0.5e^x
φ''(x)+φ(x)=e^x+C=e^x,C=0
φ(x)=Asin（x+b）+0.5e^x
求积分常数：
∫（0，x）tφ(t)dt=∫（0，x）t[Asin（t+b）+0.5e^t]dt
=A∫（0，x）tsin（t+b）dt+∫（0，x）0.5te^tdt
=-A∫（0，x）tdcos（t+b）+0.5∫（0，x）tde^t
=-A{[tcos(t+b)](0，x）-∫（0，x）cos（t+b）dt}+0.5{[te^t]（0，x）-∫（0，x）e^tdt}
=-Axcos(x+b)+A[sin(x+b)-sinb]+0.5xe^x-0.5(e^x-1)
=-Axcos(x+b)+Asin(x+b)-Asinb+0.5xe^x-0.5e^x+0.5
x∫（0，x）[Asin（t+b）+0.5e^t]dt
=x[-Acos(x+b)+Asinb+0.5e^x-0.5]
=-Axcos(x+b)+Axcosb+0.5xe^x-0.5x
右边=e^x-Axcos(x+b)+Asin(x+b)-Asinb+0.5xe^x-0.5e^x+0.5+Axcos(x+b)-Axcosb-0.5xe^x+0.5x
=0.5e^x+Asin(x+b)-Asinb-Axcosb+0.5+0.5x
=φ(x)=Asin（x+b）+0.5e^x
-Asinb-Axcosb+0.5+0.5x=0
Asinb=0.5
Acosb=0.5
sinb=cosb=√2/2，b,2kπ+π/4，A=√2/2；
sinb=cosb=-√2/2，b,2kπ+5π/4，A=-√2/2；
φ(x)=（√2/2）sin（x+2kπ+π/4）+0.5e^x=（√2/2）sin（x+π/4）+0.5e^x
或者
φ(x)=（-√2/2）sin（x+2kπ+5π/4）+0.5e^x=（-√2/2）sin（x+5π/4）+0.5e^x
=（√2/2）sin（x+π/4）+0.5e^x
可以统一表达为：φ(x)=（√2/2）sin（x+π/4）+0.5e^x

Answer 2

原式两边对 x 求导数，得
φ'(x) = e^x + xφ(x) - ∫<0, x>φ(t)dt - xφ(x)
= e^x - ∫<0, x>φ(t)dt,
再对 x 求导数，得 φ''(x) = e^x - φ(x),
即 φ''(x) + φ(x) = e^x
通解为 φ(x) = C1cosx + C2sinx + (1/2)e^x
φ(0) = 1, φ'(0) = 1,
则 C1 = C2= 1/2，
φ(x) =(1/2) (cosx + sinx + e^x)

追问

通解怎么求的能给说明下吗

追答

φ''(x) + φ(x) = e^x
特征方程 r^2+1= 0, 特征根 r = ±i
特解可设为 φ(x) = Ae^x, 代入微分方程，可得 A = 1/2.
则特解为 φ(x) = (1/2)e^x
微分方程的通解为 φ(x) = C1cosx + C2sinx + (1/2)e^x