Question

已知a,b,c∈R,求证√a^2+b^2+√b^2+c^2+√c^2+a^2≥√2(a+b+c)

Answer 1

首先基本不等式中有
平方平均值≥算术平均值
即a,b>0时有
√[(a^2+b^2)/2]≥(a+b)/2 当且仅当a=b时不等式取等号

(也就是Cauchy不等式的特例)

回到原题上

(1)当a,b,c其中有一个或一个以上的非正时,容易证明不等式成立
(不妨设a≥b≥c,再分情况简单讨论一下即可

(2)当a,b,c全为正时
利用最前面提到的不等式,即
√(a^2+b^2)≥(a+b)/√2
所以
左边≥[(a+b)+(b+c)+(c+a)]/√2
=2(a+b+c)/√2
=√2(a+b+c)
得证..

Answer 2

因为（a-b）^2 >=0 ,所以a^2+b^2 >=2ab ,
两边同加a^2+b^2得： 2*(a^2+b^2) >=a^2+2ab+b^2
所以 2*(a^2+b^2) >=（a＋b）^2
因为 a>0,b>0

所以将上式两边同开方得：（根号2)*根号(a^2+b^2) >=a＋b
即 根号(a^2+b^2) >=a/（根号2）＋b/（根号2）
同理 根号(b^2+c^2) >=b/（根号2）＋c/（根号2）
同理 根号(c^2+a^2) >=c/（根号2）＋a/（根号2）

以上三式相加得：
根号(a^2+b^2)+根号(b^2+c^2)+根号(c^2+a^2)>=2*[a/（根号2）＋b/（根号2)＋c/（根号2）]

即 根号(a^2+b^2)+根号(b^2+c^2)+根号(c^2+a^2)>=(根号2)*（a+b+c)