Question

已知向量组a1 a2 a3线性无关 求证向量组a1, a1+a2,a1+a2+a3线性无关

Answer 1

已知向量组a1 a2 a3线性无关 求证向量组a1, a1+a2,a1+a2+a3线性无关，结果如下所示。

反证法即可，设a1， a1+a2，a1+a2+a3线性相关，那么存在一组不全为零的数x，y，z使得xa1+y（a1+a2）+z（a1+a2+a3）=0，若z≠0，那么变形可知a3=(xa1+y（a1+a2）+z（a1+a2）)/z，即a3可以由a1，a2线性表出，与它们线性无关矛盾，故z=0；进一步若y≠0，那么类似得到a2可以由a1线性表出，也矛盾，故y=0，进一步推出x=0，而这与x，y，z不全为0矛盾，故假设不成立，即a1， a1+a2，a1+a2+a3线性无关；

扩展资料：

在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的只有大小，没有方向的量叫做数量（物理学中称标量）。 向量的记法：印刷体记作粗体的字母（如a、b、u、v），书写时在字母顶上加一小箭头“→”。 如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。

在空间直角坐标系中，也能把向量以数对形式表示，例如Oxy平面中(2,3)是一向量。 在物理学和工程学中，几何向量更常被称为矢量。许多物理量都是矢量，比如一个物体的位移，球撞向墙而对其施加的力等等。与之相对的是标量，即只有大小而没有方向的量。一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系，例如向量势对应于物理中的势能。 几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。

因此，平日阅读时需按照语境来区分文中所说的"向量"是哪一种概念。不过，依然可以找出一个向量空间的基来设置坐标系，也可以透过选取恰当的定义，在向量空间上介定范数和内积，这允许我们把抽象意义上的向量类比为具体的几何向量。

Answer 2

对任意常数满足，
k1a1+k2(a1+a2)+k3(a1+a2+a3)=0
有，
(k1+k2+k3)a1+(k2+k3)a2+k3a3=0
由于a1,a2,a3线性无关，则，
k1+k2+k3=0
k2+k3=0
k3=0
解得：
k1=k2=k3=0
因此向量组a1, a1+a2,a1+a2+a3线性无关。

拓展资料：

在向量空间V的一组向量A:，如果存在不全为零的数 k1, k2, ···,km , 使则称向量组A是线性相关的[1] ，否则数 k1, k2, ···,km全为0时，称它是线性无关。

由此定义看出是否线性相关，就看是否存在一组不全为零的数 k1, k2, ···,km使得上式成立。即是看。这个齐次线性方程组是否存在非零解，将其系数矩阵化为最简形矩阵，即可求解。此外，当这个齐次线性方程组的系数矩阵是一个方阵时，这个系数矩阵存在行列式为0，即有非零解，从而线性相关。

参考资料：线性相关-百度百科

Answer 3

问题解答：

k1a1+k2(a1+a2)+k3(a1+a2+a3)=0
合并得

(k1+k2+k3)a1+(k2+k3)a2+k3a3=0

由已知a1,a2,a3线性无关

所以 k1+k2+k3=0；k2+k3=0；k3=0

解得 k1=k2=k3=0

所以a1,a1+a2,a1+a2+a3线性无关。

具体分析：

1. 我们要对线性有关和线性无关的概念有所了解。要证明几个向量是线性相关或是线性无关，首先要构造第一个等式。
   

2. 然后我们通过已知条件找数量关系，最后解出系数。

3. 如果系数不全为0，则线性相关，如果系数全为0，则线性无关。

拓展资料：

线性无关和线性相关向量的性质：

• 对于任一向量组而言,，不是线性无关的就是线性相关的。

• 向量组只包含一个向量a时，a为0向量，则说A线性相关; 若a≠0, 则说A线性无关。

• 包含零向量的任何向量组是线性相关的。

• 含有相同向量的向量组必线性相关。

• 增加向量的个数，不改变向量的相关性。(注意，原本的向量组是线性相关的) 
  【局部相关，整体相关】

• 减少向量的个数，不改变向量的无关性。(注意，原本的向量组是线性无关的） 
  【整体无关，局部无关】

• 一个向量组线性无关，则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关。 
  【无关组的加长组仍无关】

• 一个向量组线性相关，则在相同位置处都去掉一个分量后得到的新向量组仍线性相关。
  【相关组的缩短组仍相关】

• 若向量组所包含向量个数等于分量个数时，判定向量组是否线性相关即是判定这些向量为列组成的行列式是否为零。若行列式为零，则向量组线性相关；否则是线性无关的。

  参考资料来源：百度百科—线性相关
  

Answer 4

已知向量组a1 a2 a3线性无关 求证向量组a1, a1+a2,a1+a2+a3线性无关，结果如下所示。

反证法即可，设a1， a1+a2，a1+a2+a3线性相关，那么存在一组不全为零的数x，y，z使得xa1+y（a1+a2）+z（a1+a2+a3）=0，若z≠0，那么变形可知a3=(xa1+y（a1+a2）+z（a1+a2）)/z，即a3可以由a1，a2线性表出，与它们线性无关矛盾，故z=0；进一步若y≠0，那么类似得到a2可以由a1线性表出，也矛盾，故y=0，进一步推出x=0，而这与x，y，z不全为0矛盾，故假设不成立，即a1， a1+a2，a1+a2+a3线性无关；

Answer 5

对任意常数满足，
k1a1+k2(a1+a2)+k3(a1+a2+a3)=0
有
(k1+k2+k3)a1+(k2+k3)a2+k3a3=0

由于a1,a2,a3线性无关，则
k1+k2+k3=0
k2+k3=0
k3=0
解得
k1=k2=k3=0

因此向量组a1, a1+a2,a1+a2+a3线性无关