Question

高中函数问题

判断函数y= -x³+1的单调性并证明你的结论

Answer 1

给你两种思路：(说明:x^3表示x的三次方)
一、定义
设x1<x2,即x2-x1>0
f(x1)-f(x2)=-x1^3+1-(-x2^3+1)
=x2^3-x1^3
=(x2-x1)(x2^2+x1x2+x1^2)
由基本不等式 a^2+b^2≥2ab (当且仅当a=b时等号成立)
可以推论 |a|^2+|b|^2≥2|ab|
所以 a^2+b^2≥2|ab|
这里由于x1≠x2
故 x2^2+x1^2＞2|x1x2|
因此 x2^2+x1x2+x1^2＞|x1x2|+(|x1x2| +x1x2)＞0
所以f(x1)-f(x2）=(x2-x1)(x2^2+x1x2+x1^2)＞0
f（x）是减函数

二、利用函数图像变化
本函数是通过x^3图像变换而来，先是关于y轴翻折变成了-x^3
又向上平移了一个单位，变成了-x^3+1
x^3可知是增函数，翻折后变成减函数，
再平移并不改变增减性，所以最后变成减函数

Answer 2

用导数做

Answer 3

y=-x^3+1
可以用求导的方法

y'=-3x^2<0 x∈R

y递减

Answer 4

以前会的，现在忘记了

Answer 5

求个倒为y=-x2,在R上导函数恒小于零，故在R上单减。