Question

在数列｛an｝中，已知a1=2,a(n+1)=2a(n)/(a(n)+1).

在数列｛an｝中，已知a1=2,a(n+1)=2a(n)/(a(n)+1).
求数列｛1/an -1｝为等比数列，并求数列｛an｝的通项公式
n
求证∑ ai*(ai-1)小于3
i=0

Answer 1

a(n+1)=2a(n)/(a(n)+1).
取倒数有
1/a(n+1)=(a(n)+1)/2a(n)
[1/a(n+1)-1]=1/2[1/an -1]
1/a1-1=-1/2
所以｛1/an -1｝为首相是-1/2，公比是1/2的等比数列
所以1/an-1 =-（1/2）^n
1/an=1-（1/2）^n
an=1/[1-（1/2）^n] n是正整数

2）令bn=an*(an-1)=1/[1-（1/2）^n] *(1/2）^n/[1-（1/2）^n]
=(1/2）^n/[1-（1/2）^n]^2
=2^n/(2^n-1)^2<2^n*2/(2^(n-1))^2
=2^n*2/2^2（n-1）=1/2^（n-1）
b1=2
所以sn<2+(1/2^1+1/2^2+……+1/2^n-1)
=2+(1/2/(1-1/2))
=3
等比数列求和