Question

x>0，求函数y=x（1-x²）的最大值

我不小心按了采纳，但我还有疑惑，劳烦您再解释一下，三个正数的算术-几何平均不等式的应用条件不是“一正”“二定”“三相等”吗，可是1-x²不一定是正数呀，这怎么回事？

Answer 1

解：
y=x(1-x²)=x-x³
y'=1-3x²
令y'≥0
1-3x²≥0
x²≤1/3
x>0
0<x≤√3/3
即：函数在(0，√3/3]上单调递增，在(√3/3，+∞)上单调递减
x=√3/3时，函数取得最大值
ymax=(√3/3)[1-(√3/3)²]=2√3/9
函数的最大值为2√3/9

本题不能用均值不等式解，不满足均值不等式使用的前提条件。

追问

我也这样认为，可是参考书上是用均值不等式解的

追答

只是x>0的话，y=x(1-x²)=x(1+x)(1-x)
x范围不定，不好直接用均值不等式的。
你书上的结果和我解的结果一致吗？

追问

书上没直接用，上面是这样写的：y=x(1-x²)，则
y²=(1/2)·2x²·(1-x²)·(1-x²)
≤(1/2)·[(2x²+1-x²+1-x²)/3]³
=4/27
即y≤√(4/27)=(2√3)/9.
∴2x²=1-x²，即x=√3/3时，
所求最大值y|max=(2√3)/9。我认为1-x²不一定是正数

追答

嗯，解法可行，只不过有些牵强，像是为了使用均值不等式而使用均值不等式。
强行求y²，再计算其算术平方根。可这样做需要一个前提：判定y的最大值肯定为正。
但是，在解题过程中并未看出来哪里有说明。
这是这个解法的瑕疵。数学是一门艺术，有瑕疵，就说明不完美。

追问

嗯，非常感谢！！我还想问个问题：求函数f（x）=|x-4|-|x-3|的最大值，并求出取最大值时x的取值范围。答案上是这么给的:f（x）=|x-4|-|x-3|≤|（x-4）-（x-3）|=1，当且仅当（x-4）（x-3）≥0且|x-4|≥|x-3|（就这看不懂），为什么需要|x-4|≥|x-3|，我是高一党，麻烦您详细说一下。

追答

这题的解法没问题的。
如果不是|x-4|≥|x-3|，那么|x-4|-|x-3|<0，就取不到最大值1了。