Question

平行四边形的几何证明题

设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．
求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）
用平移

Answer 1

证明：如图，过点P作PQ//AD，且PQ=AD，连接AQ、QB。

易得四边形AQPD和QBCP为平行四边形，三角形AQB全等于DPC。

于是不难有∠AQP=∠ADP=∠ABP，那么A、Q、B、P四点共圆。

得出∠BAP=∠BQP,在平行四边形PQBC中，∠PQB=∠PCB,

等量代换，有∠BAP=∠PCB。

Answer 2

把△ABP向右平移，到AB与CD重合。设此时P移到Q。连接PQ可知ADQP与PQCB都为平行四边形，设PQ与CD交点为E.
∵ABCD是平行四边形
∴∠ABC=∠ADC
∵∠ABP=∠ADP
∴∠PDC=∠PBC=∠PQC
∵∠PED=∠CEQ
∴△PED∽△CEQ
∴PE/CE=DE/EQ
∴PE/ED=CE/EQ
∵∠PEC=∠DEQ
∴△PEC∽△DEQ
∴∠EDQ=∠EPC=∠PCB
∵∠EDQ=∠BAP
∴∠BAP=∠BCP

如果你学了四点共圆，可以这么做：
过P作PE//DA(E在P左边)，并使PE＝DA，连接AE、BE
显然四边形ADPE和BCPE都是平行四边形
∴∠PEB＝∠PCB＝∠PAB，∠PEA＝∠PDA
∴P、A、E、B四点共圆
∴∠PEA＝∠PBA
∴∠PBA＝∠PDA