Question

已知点A(1-m,0),B(1+m,0),圆C:x^2+y^2-8x-8y+31=0上存在一点p,使得向量PA*向量PB=0，则正实数m的最小值为

Answer 1

使得向量PA*向量PB=0
表示PA⊥PB
圆C：(x-4)²+(y-4)²=1
所以可设P(4+cosa，4+sina)
PA的斜率k1=(4+sina)/(4+cosa-1+m)
PB的斜率k2=(4+sina)/(4+cosa-1-m)
因PA⊥PB，所以k1*k2=-1
即(4+sin)²/[(4+cosa-1+m)(4+cosa-1-m)]=-1
m²=26+8sina+6cosa
=26+10sin[a+arc(3/5)]
要使正实数m的最小，则需sin[a+arc(3/5)]最小=-1
此时m²=26-10=16
解得m=4
正实数m的最小=4