Question

高中数学定积分

高中数学定积分用基础方法：分割 以直代曲 求和 取极限的方法怎么做

Answer 1

解：
考察区间[1,2]上函数y=x²，
①将区间[1,2]等份为n等份x(0),x(1).....x(n-1)，每等份为Δxi=x(i+1)-x(i),其中0<i≤n-1，显然：
Δx(i)=(2-1)/n=1/n
②设ξ(i)∈[x(i),x(i+1)]，则：
[ξ(i)]²表示函数y=x²在[x(i),x(i+1)]上的任一点，不失一般性：
可令：ξ(i)=1+i(2-1)/n=1+(i/n)
③做积分和：
S(n)
=lim(n→∞) Σ(i:1→n) [ξ(i)]²·Δx(i)
=lim(n→∞) Σ(i:1→n) [1+(i/n)]²/n
=lim(n→∞) Σ(i:1→n) [1+2(i/n)+(i²/n²)]/n
=lim(n→∞) [n+(1+n)+(n+1)(2n+1)/6n]/n
=lim(n→∞) 1+(1/n)+(1+1/n)(2+1/n)/6
=1+1+(1/3)
=7/3

Answer 2

△xi=1/n
xi=i/n

∫[0~1]x²dx

=lim(n→∞)∑f(xi)△xi

=lim(n→∞)∑(i/n)²·1/n

=lim(n→∞)1/n³·∑i²

=lim(n→∞)1/n³·(1²+2²+……+n²)

=lim(n→∞)1/n³·1/6·n(n+1)(2n+1)

=lim(n→∞)1/6·(1+1/n)(2+1/n)

=1/6·1·2

=1/3

追问

你好 ，教科书中同一函数解析式 区间【0，1】算得了1/3，我觉得区间不同 ，最后的值应该也不同 。并且用微积分定理算这道题算得了7/3。所以不知道哪里出了问题😂🙏🏻

追答

我看错区间了，答案确实是7/3

△xi=1/n
xi=1+i/n

∫[0~1]x²dx

=lim(n→∞)∑f(xi)△xi

=lim(n→∞)∑(1+i/n)²·1/n

=1+2lim(n→∞)1/n·∑i+lim(n→∞)1/n³·∑i²

=1+2lim(n→∞)1/n²·(1+2+……+n)
+lim(n→∞)1/n³·(1²+2²+……+n²)

=1+lim(n→∞)1/n²·n(n+1)+lim(n→∞)1/n³·1/6·n(n+1)(2n+1)

=1+lim(n→∞)(1+1/n)
+lim(n→∞)1/6·(1+1/n)(2+1/n)

=1+1+1/6·1·2

=7/3

追问

用基础方法也算得7/3？可以写一下重要步骤吗？谢谢您

十分感谢

追答

Answer 3

如图

追问

十分感谢您

Answer 4