Question

已知数列{An}的前n项和为Sn,且An=Sn*Sn_1(n≥2,Sn≠0),a1=2/9

(1)求证{1/Sn}为等差数列
(2)求满足An>An_1的自然数n的集合
要过程
谢谢

Answer 1

(1)证明：
因为an=Sn*S(n-1)(n≥2,Sn≠0）
所以Sn-S(n-1)=Sn*S(n-1)(n≥2,Sn≠0）
因为Sn≠0，所以Sn*S(n-1)≠0
方程两边同时除以Sn*S(n-1)，得：
1/S(n-1)-1/Sn=1，即1/Sn=1/S(n-1)-1(n≥2)
所以数列{1/Sn}是以9/2为首项，-1为公差的等差数列.
(2)解：
由(1)得：1/Sn=1/S1+(n-1)d=9/2+(n-1)*(-1)=11/2-n
所以Sn=1/(11/2-n)=2/(11-2n)，则S(n-1)=2/[11-2(n-1)]=2/(13-2n)
所以an=Sn-S(n-1)=2/(11-2n)-2/(13-2n)=4/[(2n-11)*(2n-13)](n≥2)
当n=1时，a1不符合an=4/[(2n-11)*(2n-13)]
当n=2时，a2=4/63<2/9=a1，不符合题意；
当n>2时，an=4/[(2n-11)*(2n-13)]
由平方差公式：
(2n-11)*(2n-13)=[(2n-12)+1]*[(2n-12)-1]=[2(n-6)]^2-1=4*(n-6)^2-1
则an=4/[4*(n-6)^2-1].
设f(n)=4*(n-6)^2-1.
当2<n≤5时，4*(n-6)^2-1>0，f(n)依次递减
所以an=4/[4*(n-6)^2-1]依次递増，符合an>a（n-1）且a5=4/3；
当n=6时，a6=-4<4/3=a5，不符合题意；
当n=7时，a7=4/3>a6，符合题意；
当n>7时，4*(n-6)^2-1>0且f(n)依次递増，则an依次递减，不符合题意；
所以综上所述，求满足an>a（n-1）的自然数n的集合是{3，4，5，7}.
这个问题我在2010年7月20日给人解决过，应该是没有什么问题的!