Question

求解两道高一数学题

（1）
设f(x)的图像为一条开口向上的抛物线，已知x、y均为正数，p>0，q>0，p+q=1。比较f(px+qy)与pf(x)+qf(y)的大小。
（2）
设a>0，b>0，比较(b／√a)+(a／√b)与√a+√b的大小

请不要只写答案，请给与我这个数学无能的学生甲多一些解释，谢谢大家。
我看了一楼的回答，问题1中的f(px+qy)-[pf(x)+qf(y)]貌似不等于2apqxy吧
f(px+qy)=ap2x2+aq2y2+2apqxy+bpx+bqy+c
而pf(x)+qf(y)=apx2+aqy2+bpx+bqy+c
所以相减是ap2x2+aq2y2+2apqxy-apx2-aqy2
然后我就不知道怎么化了……

我那儿的答案是(1)[pf(x)+qf(y)]＞f(px+qy) (2)(b／√a)+(a／√b)≥√a+√b (当且仅当a=b时等号成立)

十分感谢 南高国际机场 的解答，我理解了。但是考虑到 wo45373814 的时间较早，又很详细，所以还是决定把分给他。但是还是谢谢南高国际机场。虽然这次的分不能给你，但以我的数学无能以后需要请教的问题还很多，希望下次提问时能把分给你。

Answer 1

两道题都可以用作差法解答

（1）设f(x)=ax2+bx+c(a＞0)
则 f(px+qy)=a(px+qy)2+b(px+qy)+c
=ap2x2+aq2y2+2apqxy+bpx+bqy+c

pf(x)+qf(y)=p(ax2+bx+c)+q(ay2+by+c)=apx2+aq2y2+bpx+bqy+c(这里用了p+q=1)
∴f(px+qy)-[pf(x)+qf(y)]
=ap2x2+aq2y2-apx2-aqy2+2apqxy
=ax2p(p-1)+ay2q(q-1)+2apqxy
=-ax2pq-ay2qp+2apqxy（这里把1用p+q代替）
=-apq(x2+y2-2xy)
=-apq(x-y)2＜0
∴f(px+qy)＜[pf(x)+qf(y)]

（2）(b／√a)+(a／√b)-(√a+√b)
=（b／√a-√b）+（a／√b-√a)
=√b／√a（√b-√a）+√a／√b（√a-√b)
=(√b-√a）(√b/√a-√a／√b)
=(√b-√a）(b-a)/√ab
=(√b-√a）2(√b＋√a)/√ab＞0
∴(b／√a)+(a／√b)＞√a+√b

希望能帮到LZ

Answer 2

ap2x2+aq2y2+2apqxy-apx2-aqy2
我来解决后边的的问题，把分给我吧
当然式子中的那个a是可以提出的
然后P2X2-PX2提个PX2即PX2(p-1)
又P+Q=1即PX2(p-1)=-PQX2
同理P2Y2-PY2=-PQY2
现在还有个2pqxy
好了，提个pq出来
再看看
里边是个完全平方，呵呵
结合pq为正数
就这样