Question

高中数学（急求）

已知x,y都是正数，且满足x+2y+xy=30,求xy的最大值，并求出此时x,y的值
谢谢（要过程）

Answer 1

x+2y>=2根号(2xy),当x=2y时取等号
所以有30=x+2y+xy>=2根号(2xy)+xy
换元，令t=根号(xy)>=0,则xy=t²
t²+2(根号2)t-30<=0
(t+5根号2)(t-3根号2)<=0
解得,-5根号2<=t<=3根号2
t²<=18，即xy的最大值是18
此时，xy=2y²=18,y=3,x=6

Answer 2

换元：
t=xy
y=t/x
x+2t/x+t=30
x^2+2t+tx=30x
^2表示平方。
(2+x)t=30x-x^2
t=[(-x^2)+30x]/(2+x)
设s=2+x,则s>2
x=s-2
t=[-(s-2)^2+30(s-2)]/s
=[-s^2-4+4s+30s-60]/s
=[-s^2+34s-64]/s
=-s+34-64/s
=34-（s+64/s)
<=34-2√(s*64/s)
=34-2*8
=34-16
=18
s=64/s
s=8,因为s>2,所以-8舍掉

此时x=s-2=6
t=18
y=t/x=3

Answer 3

答案：
xy的最大值为14
x=2
y=7
或
x=7
y=2