Question

高中数学，急求

如图，在三棱锥P-ABC中，PB=PC,∠APB=∠APC=90°,∠BPC=60°.若此三棱锥的体积为定值V，求点P到平面ABC距离的最大值。

Answer 1

很明显看出AB=AC

设AP=x，PC=y

由题意可知△PBC是等边三角形

所以BC=y，可以求得△PBC=√3/4*y^2

因为PA⊥面PBC

所以体积V=1/3*x*√3/4*y^2,两边平方化简得

x^2y^4=48V^2

过A作AD⊥BC于D，因为AB=AC

所以BD=y/2

因为由勾股定理可得AB^2=x^2+y^2

所以再由勾股定理得AD=√(x^2+3y^2/4)

设P到平面ABC距离为L

因为可以算出△ABC面积=y/2*√(x^2+3y^2/4)=1/2*√(x^2y^2+3y^4/4)

以△ABC为底面可以算出面积V=1/3*1/2*√(x^2y^2+3y^4/4)*L

所以L=6V/[√(x^2y^2+3y^4/4)]

要求L的最大值，就是求√(x^2y^2+3y^4/4)的最小值

因为x^2y^2+3y^4/4=1/2*x^2y^2+1/2x^2y^2+3y^4/4≥3*开三次方(1/2*x^2y^2*1/2x^2y^2*3y^4/4)=3*开三次方(3x^4y^8/16)=18*开三次方(2V^4)

所以L=6V/[√(x^2y^2+3y^4/4)]≤1/[3*开三次方(2V)]

最大值是1/[3*开三次方(2V)]

Answer 2

bc边的一半
a^2+b^2=c^2
a*b=c*d
（a-b）^2=c*(c-2d)
（a-b）^2>=0
c>=2d
d<=c/2

Answer 3

设PB=PC=x，PA=y，P到面ABC的距离为h，∴BC=x，
由题意，以△PBC为底面，PA为高，有V=1/3×√3/4·x·x·y ①
以△ABC为底面，则高为h，有V=1/3×1/2·S△ABC·h ②
由∠APB=∠APC=90°,∠BPC=60°
∴AB=AC=√(x^2+y^2)
∴S△ABC=1/2·x·√（y^2+3/4·x^2） ③
由①②③可得

h^2=(3x^2·y^2)/(4y^2+3x^2)=3√3V/(y+3√3V/y^2)≤三次根号下(2V)