Question

已知直角三角形的三边为整数，且周长与面积的数值相等。求满足条件的所有直角三角形

写一下过程

Answer 1

一直角三角形的三边长a,b,c,c为斜边

a+b+c=1/2ab,a^2+b^2=c^2

a^2+b^2=(a+b-1/2ab)^2

ab(2-a-b+ab/4)=0,ab>0

2-a-b+ab/4=0

a=(8-4b)/(4-b)=4-8/(4-b)>0,a>0正整数

8/(4-b)<4

b=5,6,8,12

a=12,b=5,c=13；a=8,b=6,c=10;a=6,b=8,c=10;a=5,b=12;c=13

满足条件的所有直角三角形三边为6，8，10或5，12，13

三角形角的性质：

1、在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）。

2、在平面上三角形的外角和等于360° (外角和定理)。

3、在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。

4、一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。

5、在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。

6、 在一个直角三角形中，若一个角等于30度，则30度角所对的直角边是斜边的一半。

Answer 2

设两直角边为x,y,（x,y为正整数）则斜边为√x²+y²依题意
0.5xy=x+y+√x²+y²
0.5xy-x-y=√x²+y²
0.25x²y²+x²+y²-x²y-xy²+2xy=x²+y²
0.25x²y²-x²y-xy²+2xy=0
x²y²-4x²y-4xy²+8xy=0
xy-4x-4y+8=0
(x-4)(y-4)=8
x,y为正整数且√x²+y²为正整数
则x=5,y=12
或x=6,y=8
或x=8,y=6
或x=12,y=5
故两直角边分别为5、12或6、8
三边分别为5、12、13或6、8、10

Answer 3

设两直角边为x,y,则斜边为√x^2+y^2
依题意
0.5xy=x+y+√x^2+y^2
各边为整数，则 √x^2+y^2为整数
.....

x=6，y=8，