Question

高数导数问题，如图所示第13题解答里的第一步，积分的上下限为什么变

高数导数问题，如图所示第13题解答里的第一步，积分的上下限为什么变了？

Answer 1

既然令x-t=u，将被积函数的自变量从t变成了u
那么定积分的上下限也就必须从t的上下限变成u的上下限。
那么u的上下限怎么算出来呢？通过x-t=u这个转换式子，将u的上下限计算出来。
t的上限是x²，那么u的上限就是x-t上限=x-x²
t的下限是0，那么u的下限就是x-t下限=x-0=x
所以u的上限是x-x²；下限是x，所以换元后，上下限就必须改变成这样了。不能直接使用原来t的上下限。

追问

那为什么后面上下限又颠倒了？变成上限是x下限是x-x²呢？

追答

看到我画红框的地方了吗？前面有个负号，要去掉这个负号，定积分的上下限就要对调。这都是定积分的基本性质。