Question

积分问题求解

（sinx）^2*(arctane^x+artane^(-x))在负二分之派到正二分之派之间的积分等于sinx平方在0到二分之派之间的积分再乘以派 为什么？
李永乐考研复习全书第98页第二小题

Answer 1

(arctane^x+artane^(-x))'=e^x/(1+e^2x)-e^(-x)/(1+e^(-2x))
=e^x/(1+e^2x)-e^(x)/(1+e^(2x)) 后一项上下同乘e^2x
=0
(arctane^x+artane^(-x)) 恒为常数 取x=0得：

(arctane^x+artane^(-x))=(arctan1+arctan1)=π/2

另外，由（sinx）^2* π/2 在负二分之派到正二分之派之间是偶函数在原点对称区域上的积分等于半区间上积分的两倍，综合即得。