Question

微积分 级数2题

Answer 1

(2)若Un收敛，Vn发散
则Un+Vn发散
证明：反证法.
如果 Un+Vn收敛,则 Vn =（Un+Vn）-Un
有数项级数收敛性质知道Vn必收敛，矛盾
故∑（Un+Vn）发散
Un-Vn发散
反证法
假设∑(Un-Vn)收敛
又有∑Un收敛
那么,∑Un-∑(Un-Vn)=∑Vn必收敛,与Vn发散矛盾
因此,∑(Un-Vn)发散
UnVn敛散性不定
当Un=0，Vn=1时，UnVn=0收敛
当Un=1/n²，Vn=n²时，UnVn=1发散
(3)
Un±Vn敛散性不确定
Un=1/n，Vn=-1/n，两个相加收敛，相减发散
Un=1/n，Vn=1/n，两个相加发散，相减收敛。
UnVn的敛散性不定
当Un=1/√n，Vn=1/√n，UnVn=1/n发散的
当Un=1/n，Vn=1/n，UnVn=1/n²是收敛的