Question

将下列函数展开成傅里叶级数

将下列函数展开成傅里叶级数设f是以2π为周期的函数，在［-π，π)上的表达式如下，将f展开成傅里叶级数

Answer 1

f(x)＝3x²＋1(－π≤x＜π)为偶函数,应进行傅里叶余弦展开
设f(x)＝a0＋∑ancosnx,其中
a0＝1/π∫f(ξ)dξ （积分限：0到π）
＝1/π∫(3ξ²＋1)dξ＝1/π(π³＋π－0－0)＝π²＋1
an＝2/π∫f(ξ)cosnξdξ （积分限：0到π）
＝2/π∫(3ξ²＋1)cosnξdξ＝6/π∫ξ²cosnξdξ＋2/π∫cosnξdξ＝6/(n³π)∫(nξ)²cosnξd(nξ)＋2/(nπ)(sinnπ－sin0)＝6/(n³π)∫(nξ)²cosnξd(nξ)
令nξ＝ζ,则
an＝6/(n³π)∫ζ²cosζdζ （积分限：0到nπ）
＝6/(n³π)∫ζ²dsinζ＝6/(n³π)(ζ²sinζ－∫sinζdζ²)＝6/(n³π)[(nπ)²sinnπ－0－2∫ζsinζdζ]＝－12/(n³π)∫ζsinζdζ＝12/(n³π)∫ζdcosζ＝12/(n³π)(ζcosζ－∫cosζdζ)＝12/(n³π)(ζcosζ－sinζ)＝12/(n³π)(nπcosnπ－sinnπ－0＋sin0)＝12/n²·cosnπ
∵当n为偶数时,cosnπ＝1；当n为奇数时,cosnπ＝－1
∴an＝12(－1)^n/n²
∴f(x)＝π²＋1＋∑12(－1)^n/n²·cosnx(－π≤x＜π)

Answer 2

(1)对称函数，对称区间，可以展开为cosnx的级数，(3)不对称，必须展开为正弦余弦函数的级数。