Question

怎样对函数积分，求导

Answer 1

最常见的是变上限函数的积分，即∫f(t)dt（积分限a到x），根据映射的观点，每给一个x就积分出一个实数，因此这是关于x的一元函数，记为g(x)=∫f(t)dt（积分限a到x），注意积分变量用什么符号都不影响积分值，改用t是为了不与上限x混淆。现在用导数定义求g'(x)，根据定义，g'(x)=lim[∫f(t)dt-∫f(t)dt]/h（h趋于0，积分限前者为a到x+h，后者为a到x）=lim∫f(t)dt/h（积分限x到x+h，根据的是积分的区间可加性），根据积分中值定理，存在ξ属于(x,x+h)，使得∫f(t)dt/h=f(ξ)h，又因为h趋于0时ξ是趋于x的，故极限=limf(ξ)h/h=f(x)，至此证明了g'(x)=f(x)。对于最一般形式的变限积分，其积分的上下限都可以是函数，分别用u(x)和v(x)表示，即g(x)=∫f(t)dt（积分限v(x)到u(x)），用类似的方法可以证明，g'(x)=u'(x)f[u(x)]-v'(x)f[v(x)]，这是最一般的变限积分求导公式，任何变限积分求导问题都可用此式解决。

Answer 2

积分与求导是逆运算，只不过积分多了一个常数而已！