Question

求全微分方程的通解

方程如下（或看图）：[ log y + xy^2 ]dx + [x/y + x^2y + y cos y]dy = 0

Answer 1

求微分方程y²dx+(3xy-4y³)dy=0的通解

解：y[ydx+(3x-4y²)dy]=0；消去y得 ydx+(3x-4y²)dy=0..............①；

【由此可知：y=0是方程的一个特解】

P=y；Q=3x-4y²；∂P/∂y=1；∂Q/∂x=3；由于(1/p)(∂P/∂y-∂Q/∂x)=(1/y)(1-3)=-2/y=H(y);

因此方程①有积分因子μ：

用y²乘方程①的两边得：y³dx+(3xy²-4y^5)dy=0...........②

此时P=y³；Q=3xy²-4y^5；满足 ∂P/∂y=3y²=∂Q/∂x；故②是全微分方程。∴其通解u(x，y):

这也是原方程的通解【取微分后消去y²即得原方程】

Answer 2

设解为u(x,y),则u关于x的偏导数是 [ log y + xy^2 ]，关于y的偏导数是 [x/y + x^2y + y cos y]。于是
u =积分[ log y + xy^2 ]dx =x log y+x^2 y^2+g(y)。
对这个u关于y求导，得到
g'(y)= y cos y，于是
g(y)=y sin y+cos y.
所以，解为
u(x,y)=x log y + (x^2y^2)/2 +y sin y+ cos y+C.

追问

第三行 x^2y^2 少了 1／2

Answer 3

看着有点别扭，
就是把(0，0)到(x，y)的折线分成两条，
第一条，从(0，y)到(x，y)
就得到第一个定积分，

第二条，从(0，0)到(0，y)
就得到第二个定积分，
【这条线上，x=0，
代入后
dy前面的函数就变成y²了】

Answer 4

特征方程 t² - 3t＋2＝0 的解 t1＝1，t2＝2
齐次微分方程通解是 y＝C1e^x＋C2e^2x
设特解 y＝(ax²＋bx)e^x，
y'＝(ax²＋2ax＋bx＋b)e^x，
y''＝(ax²＋4ax＋bx＋2a＋2b)e^x
代入比较系数，可得
-2a＝1，2a-b＝0，解得 a＝-1/2，b＝-1
所以原微分方程通解为
y＝C1e^x＋C2e^3x＋(-1/2 x² - x)e^x

Answer 5

把x看成y的函数。

y²x'+(3xy-4y³）=0
y=0是一解。
两边除以y
yx'+3x-4y²=0
yx'+3x=4y²
齐次型：
yx'+3x=0
yx'=-3x
x'/x=-3/y
lnx=-3lny+C1=ln(C2/y³）
x=C2/y³；
变常数：
x'=C2'/y³-3C2/y^4
代入原方程：
y（C2'/y³-3C2/y^4）+3C2/y³=4y²
C2'/y²-3C2/y³+3C2/y³=4y²
C2'/y²=4y²
C2'=4y^4
C2=4y^5/5+C3
∴原方程的通解是：
x=（4y^5/5+C3）/y³
=4y²/5+C3/y³；
以及：y=0