Question

如何利用整体思想来解决数学问题

Answer 1

在初中的教育教学中，我发现有很多很多的解题思路和方法，然而在众多的方法中，我发现一种比较简便的解题方法——整体思想。现将我任教以来在教学中发现、探索、归纳出的比较适用的几种整体思想的解法与大家分享。
利用这种思想能较好的解决很多的代数问题和几何问题，我总结的解法有：整体代入思想；整体换元思想；整体变形思想；整体补形思想；整体合并思想；整体约减思想；整体值思想；整体构造思想等等。
1 整体代入思想
在求代数式的值时，通常会遇到各种各样关于求未知数的关系式的条件，若利用常规方法在这些关系式中求出未知数后再代入求值式，其计算很复杂。这时往往需要研究问题的条件和结论的整体形式，挖掘式子结构上的特征，将已知条件进行恰当的变形，或者把一些已知关系作为整体，直接代入求值式中计算，这种思想谋求整体代入，过程简洁明了。
例1：已知m=1 2，n=1-2且(7m2-14m a)(3n2-6n-7)=8，求a的值。
解析：由已知可得m2-2m=1，n2-2n=1，又因为(m2-14m a)(3n2-6n-7)=8，所以(7 a)(3-7)=8，从而求出 a = -9.
警示：若把m、n的值代入式子中求a的值较为困难，运算量大，现巧妙地将已知条件变形为整式与结论式子的特点，整体代入，从而达到化繁为简的目的。
例2：若x=1 20072，求多项式(4x3-2010x-2007)2010的值。
解析：∵x=1 20072，∴2x-1=2007。然后两边平方得，4x2-4x-2006=0
即4x3-4x2-2006x=0， 而又有4x2-4x=2006
∴4x3-2010x-2007=(4x3-4x2-2006x) 4x2-4x-2007
=4x2-4x-2007=2006-2007 =-1
∴(4x3-2010x-2007)2010=(-1)2010=1
警示：本题就是充分利用已知条件，把已知条件的变形，使已知条件转变为一个整式即4x3-4x2-2006x=0， 而又有4x2-4x=2006，然后才利用整体代入的方法。
2 整体换元思想
整体换元思想是我们解题的一种重要方法，是把题目中的条件和结论看着一个整体，并用一个新量去替代，使问题转化为对这个新量的研究，能起到化繁为简、化难为易的作用。
用整体换元思想可以解答下列数学问题：1、有理数的运算；2、求整式（或分式）的值；3、因式分解；4、解分式方程（组）；5、接高次方程组；6、处理几何问题等等。
例3：分解因式：(x2 5x 2)(x2 5x 3)-12
解析：观察式子中的特点发现可以把式子中的x2 5x用y来代替，即x2 5x=y，则有：原式=(y 2)(y 3)-12=y2 5y-6
=(y 6)(y-1)=(x2 5x 6)(x2 5x-1)
=(x 2)(x 3)(x2 5x-1)
警示：此题若用去括号来解决，出现的次数较高，不易洞察其中的结构，因而增大了因式分解的难度。
例4：已知x、y是正整数，且,xy x y=23,x2y xy2=120,求x2 y2的值。
解析：本题充分利用已知条件，变形为xy(x y)=120，这样可设x y=m,xy=n，则有：m n=23mn=120 ∴m=8n=15 m=15n=8（不符合，舍去）
∴x2 y2=(x y)2-2xy=m2-2n=82-2×15=34。
警示：本题若把已知的两个方程联立为方程组，直接求出x、y不易求出，同时要检验解的合理性，所以比较困难。
3 整体变形思想
在运用整体变形思想时，关键是要弄清变形的目的，变形的方向，变形的过程以及变形的结果等，才能确定如何变形，并对变形过程进行监控。在平时的解题过程中，通常用到的整体变形的方法有：整体配方、整体求倒、整体相加、整体相乘、整体相减和整体构造等，所以整体变形主要应用于化简、求值、证明等。