Question

常微分方程证明题，求写下详细过程，谢谢

Answer 1

这个题目本身有明显的问题: (1) 没有说明A(t)的连续性条件; (2) x'=A(t)x是齐次方程而不是非齐次方程. 注意, 如果没有足够的连续性, 结论是不成立的(最简单的例子是n=1, A(t)为Dirichlet函数, 此时S={0}是0维空间而不是1维空间). 当然, 还有些小问题, 比如需要指出线性空间的基域等, 这些就不计较了.
显然S是一个线性空间. 如果加上A(t)连续的条件, 那么由线性微分方程初值问题解的存在唯一性, 存在唯一一个x(t)满足x'=A(t)x且x(0)=e_i, 其中e_i表示n阶单位阵的第i列, 把这个解记为f_i(t).
一方面, 如果存在常数c_1,...,c_n使得c_1f_1(t)+...+c_nf_n(t)=0, 取t=0即得c_1=...=c_n=0, 所以f_1(t),...,f_n(t)线性无关.
另一方面, 对于S中的任何一个u(t), u(0)总可以表示成e_1,...,e_n的线性组合, 即存在常数c_1,...,c_n使得c_1e_1+...+c_ne_n=u(0), 容易验证c_1f_1(t)+...+c_nf_n(t)是初值问题x'=A(t)x, x(0)=u(0)的解, 由唯一性得到u(t)=c_1f_1(t)+...+c_nf_n(t).
所以{f_1(t),...,f_n(t)}构成S的一组基.