Question

常微分方程的证明题、急用、在线等

对于二阶线性方程x"+p(t)x'+q(t)x=0,其中p(t)、q(t) 为连续函数。证明刘维尔公式

(其中x1为方程的非零解)。提示：可利用变换x=x1∫zdx

Answer 1

刘维尔公式的证明：
当已知二线性阶方程x"+p(t)x'+q(t)x=0的一个非零解x1,我们可以引入一个新的未知函数∫zdx,
令x=x1*∫zdx,则有：
x' =x1*(z)+ (x1') *∫zdx ······················································（1）
x''=x1*(z')+2*(x1')*(z)+(x1'')*∫zdx········································（2）
将（1）（2）代入二阶线性方程，得：
x1*(z') +[2*(x1')+P(t)*x1]*z +[(x1'')+P(t)*(x1')+q(t)*x1]*(∫zdx)=0
由于x1是二阶线性方程的解，故： (x1'')+P(t)*(x1')+q(t)*x1=0
方程可以化为一阶齐次线性方程：x1*(dz/dt)+[2*(x1')+P(t)*x1]z=0·············（3）
用分离变量法可以得到（3）式的通解：
z=(C2/x1^2)*e^(-∫p(t)dt)·······················（4）
所以 ∫zdx= C1 +C2*[∫(1/x1^2)*(e^(-∫p(t)dt))dt]
所以 x= x1*∫zdx=x1*[C1 +C2*[∫(1/x1^2)*(e^(-∫p(t)dt))dt]]
至此得证

【分析：此题的关键就是猜测到解的形式是x=x1∫zdx。】