Question

证明函数极限的时候，为什么要找出ε=δ/c，c是常数，这有什么关系，如下图

Answer 1

这是用函数极限的定义来证明自一个函数的极限。
也就是只要符合函数极限的定义要求，那就是函数极限。

比如如何证明一个几何图形是三角形？
首先清楚三角形定义，三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形。然后你可以根据一个图形是否符合这定义判断是否三角形。

追问

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追答

你先把函数极限的定义搞清楚，每句话都要清楚为什么这么说，如果缺少这句话或换个说法行不行。直到你自己描述的（非背诵）函数定义，能根据你的描述判断是否是函数极限。

就像让你给三角形下一个定义，你会怎么描述？是否比上文更精简？

函数极限的定义网页链接

设函数在点x0x0的某领域内有定义(点x0x0可除外)，对任意给定的小正数ϵϵ，总存在一个正数δδ，使当0<|x−x0|<δ0<|x−x0|<δ时，不等式 |f(x)−A|<ϵ|f(x)−A|<ϵ恒成立，称AA为函数y=f(x)y=f(x)当x→x0x→x0时的极限，记作limx→x0f(x)=Alimx→x0f(x)=A.

• 注：此时x0x0可以不在定义域内，且AA可以不等于f(x0)f(x0)（此时函数在x0x0这一点不连续）。

• limx→+∞f(x)=A⇔∀ϵ>0,∃<.s.t.∀x>=M,|f(x)−A|<ϵlimx→+∞f(x)=A⇔∀ϵ>0,∃<.s.t.∀x>=M,|f(x)−A|<ϵ

• limx→−∞f(x)=A⇔∀ϵ>0,∃<.s.t.∀x<=M,|f(x)−A|<ϵ