高数 换元法求积分题目
如图，本题划线部分最后积分是如何还原的。由x=tan(t)是如何得到sin(t)和cos(t)的?...
如图，本题划线部分最后积分是如何还原的。由x=tan(t)是如何得到sin(t)和cos(t)的?
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tanx=sinx/cosx
secx=1/cosx
1/(1+(tanx)^2)^(3/2)=(cosx)^3
(tanx/(1+(tanx)^2)^(3/2))*(secx)^2=tanx*(cosx)^3/(cosx)^2=sinx/cosx*cosx=sinx
另外
sinx=tanx/（1+(tanx)^2）^(1/2)
cosx=1/（1+(tanx)^2）^(1/2)
所以代入t=arctanx后，sint=x/(1+x^2)^(1/2)
secx=1/cosx
1/(1+(tanx)^2)^(3/2)=(cosx)^3
(tanx/(1+(tanx)^2)^(3/2))*(secx)^2=tanx*(cosx)^3/(cosx)^2=sinx/cosx*cosx=sinx
另外
sinx=tanx/（1+(tanx)^2）^(1/2)
cosx=1/（1+(tanx)^2）^(1/2)
所以代入t=arctanx后，sint=x/(1+x^2)^(1/2)
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