Question

数学 数列 求解

Answer 1

an=a1+（n-1）/2；
Sn=[2a1+(n-1)/2]n/2=na1+n(n-1)/4
am,15,Sn成等差数列：
am+Sn=15×2=30
a1+（m-1）/2+na1+n(n-1)/4=30
lgam，lg9，lgSn成等差数列：
lgam+lgSn=2lg9=lg81
am.Sn=81
得到方程组：
am+Sn=30
am.Sn=81
根据韦达定理，am，Sn是如下方程的两个根：
x²-30x+81=0
（x-3）（x-27）=0
am=3，Sn=27；或者 am=27，Sn=3；
一、am=3，Sn=27
a1+（m-1）/2=3，na1+n(n-1)/4=27，a1+（n-1）/4=27/n；
相减：（n-1）/4-（m-1）/2=27/n-3
n-1-2（m-1）=108/n-12
m，n是正整数。
n-2m=108/n-13
前后，都是整数，因此n是108的因数。
m=（n+13-108/n）/2>0
n+13-108/n>0
n²+13n-108>0
n>[-13+√（13²+4×108）]/2=[-13+√601]/2=5.76;
n≥6,108=2²3³，n可能的值：6,9,12，18,27,36,,54,108；
如果n是奇数，则m是（奇+奇-偶）/2=偶/2=整数；
如果n是4的倍数，则m=（偶+奇-奇）/2=整数；
如果n是2的倍数，但不是4的倍数，设n=4n1+2
m=（4n1+2+13-54/（2n1+1））/2=（偶+奇-偶）/2，不是整数。
因此n=9,12,27,108；
m=5,8,18,23，60；
（1）m=5，n=9，a1=3-（m-1）/2=3-4/2=1；a1=27/n-（n-1）/4=27/9-8/4=1；
am=a1+（m-1）/2=1+4/2=3，Sn=na1+n(n-1)/4=9+9×8/4=27；
3,15,27，公差12，等差；lg3，lg9=2lg3，lg27=3lg3，公差lg3，正确。

追问

谢谢 太感谢了

追答

（2）m=8,n=12
a1=3-（m-1）/2，
=3-7/2=-1/2
a1=27/n-（n-1）/4
=27/12-11/4=-6/12=-1/2
am=-1/2十7/2=3
Sn=12（-1/2）十（12-1）12/4
=-6十33
=27
同样正确。其余同理。

二、am=27，Sn=3
a1+（m-1）/2=27，na1+n(n-1)/4=3，a1+（n-1）/4=3/n；

（m-1）/2- （n-1）/4 =27-3/n；
2（m-1）- （n-1） =108-12/n
2m=n十109-12/n
m=n/2十109/2-6/n>0
n²/2十109n/2-6>0
n²十109n-12>0
n>[-109十√（109²十48）]/2
=0.11，n≥1