Question

高等数学 证明方程

证明方程x^2 cosx-sinx=0 在区间（派，3/2派）内至少有一个实根

Answer 1

楼上是对的，因为函数f（x）=x^2 cosx-sinx在R上连续，
由f(pi/2)<0,f(pi)>0,由介值定理得，存在m属于（派，3/2派），使得f（m）=0

(介值定理）
设函数f(x)在有限闭区间[a,b]上连续，
且f(a)=A≠f(b)=B，那么，对于A与B之间的任意一个数C在开区间(a,b)内至少有一点c，使得f(c)=C。

Answer 2

X=派带入左式，左式小于0
Y=3/2派带入左式，左式大于0
因为左边由初等函数构成所以连续
令F(x)=左式，F(x)在区间内连续。我记得有个定理，连续的话函数值可以取遍值域内的数值，楼主翻翻书，有的话就用这个定理。即F(x)在值域内有一个可以取到0的点，即原方程至少有一个实根

Answer 3

记函数 f(x) = x^2cosx-sinx. 容易看出 f(x) 是连续函数。
因为 f(π) = -π^2<0，而 f(3π/2) = 1>0，所以函数在两端点的值异号，再由函数的连续性即知 f(x) 在 (π，3/2) 内至少有一个实根。

Answer 4

证明：令F（x）=x^2 cosx-sinx=0 取D=[派，3/2派]
F（x）在[派，3/2派]连续 ，于（派，3/2派）可导
F（派）= -π^2<0， f(3π/2) = 1>0
由零点定理得至少有一个根属于（派，3/2派）

闭连续，开可导不能写错！！

Answer 5

分别将π和3/2π代入到原方程左边 所得结果异号则至少有一个实根