Question

一个关于极限运算的问题。

看一下例题1-16，为什么x→-∞的时候，就不可以像x→+∞一样直接通过同除x的办法算极限而要用换元法去转换过来?这样做的区别在哪里？还有就是为什么分子有理化总可以用?

Answer 1

∞±∞，0·∞都属于未定型，要分具体情况，极限的存在情况是不同的，不能直接拆开。举例：①比如n，1-n当n→ 无穷时，都是无穷，但是和的极限是存在的（极限等于1），但是拆开是求不出极限（故也不能求极限），或者说没有极限的；而n，与1-n2,其拆与不拆都是趋于无穷的 ② 1/n，n也是，拆开有一个是没有极限的，一个是极限为0，未定；而积的极限是1；而1/n2与n，极限为0，拆开是没法求极限的（一个存在，一个不存在）注：这也要求要拆开求极限，那么拆开的每一个部分必须都有极限，否则不能求出极限。（从两个例子可以看出0·∞可能是0，也可能是∞；同样∞±∞可能是∞也可能是常数，或者不存在）

追问

我还是没有搞懂。原谅我初学，碰到的例子少，还没有明白这其中的道理。希望能就这道题讲一下，如果比较麻烦，也可以加个qq私聊。

要QQ的话在私信里发你

Answer 2

因为当x→-∞时，x<0，同除时，要变号，所以先换元再计算比较方便。

Answer 3

因为不换元很容易忘记除负数要异号，
基本都会在这翻车

追问

是不是这样，根号里的由于是除以x∧2所以不变号，但是根号外的+x+1要变成-1-1/x